Question

Решить задачу с использованием уравнений,сводящихся к квадратным.Катер прошел по Чигиринскому водохранилищу 27 км ,а затем он шел 45 км по реке Друть ,впадающей в водохранилище,затратив на весь путь 4 ч 30 мин .Скорость течения реки 3 км/ч.Найти собственную скорость катера.помогите пожалуйста)

Answer 1

х-собственная скорость катера; 4 часа 30 минут=4,5 часа 

скорость по водохран. х , т.к. вода стоячая, скорость по реке х-3, т.к. река впадает в водохранилище, катер выплыл из водохранилища в реку, т.е. против течения 

27/х +45/х-3=4,5 приведем к общему знамен., перенес. все в лев. часть.

(27(х=3)+45х-4,5х(х-3))/х(х-3) = 0, чтобы в данном выражении получился 0, числитель должен быть равен 0, а знамен. не = 0, следует х не может быть равен нулю и трем.

27х-81+45х-4,5х*х+13,5х=0 

 -4,5х*х+85,5х-81=0, для удобства вычисления разделим обе части выражения на -4,5  (прим. х*х это х в квадрате)

х*х-19х+18=0

Д=(-19)*(-19)-4*1*18=361-72=289

Х1=(19+17)/2=18 км/ч -собственная скорость катера

Х2=(19-17)/2=1 км/ч - не удовл. условию так как если скорость катера будет меньше скорости течения реки, то катер не сможет вплыть в реку против ее течения. 

 Ответ собственная скорость катера 18 км/ч

 

 

Answer 2

Давайте обозначим собственную скорость катера через \(V_c\). Также обозначим скорость течения реки через \(V_r\), в данном случае \(V_r = 3\) км/ч.

По определению, скорость катера относительно воды равна разности его собственной скорости и скорости течения реки:

\[V_{cw} = V_c - V_r\]

Из условия задачи известны расстояния и время движения. Обозначим время, проведенное на Чигиринском водохранилище, через \(t_1\), а время движения по реке Друть через \(t_2\).

1. Движение по Чигиринскому водохранилищу: \[27 = (V_c + V_r) \cdot t_1\]

2. Движение по реке Друть: \[45 = (V_c - V_r) \cdot t_2\]

3. Общее время движения: \[4\ ч\ 30\ мин = t_1 + t_2\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} 27 &= (V_c + V_r) \cdot t_1 \quad \quad \quad \quad (1)\\ 45 &= (V_c - V_r) \cdot t_2 \quad \quad \quad \quad (2)\\ 4\ ч\ 30\ мин &= t_1 + t_2 \quad \quad \quad \quad \quad (3) \end{align*} \]

Решим эту систему уравнений. Начнем с уравнения (3), переведем время в минуты:

\[4\ ч\ 30\ мин = 270\ мин\]

Теперь мы имеем систему:

\[ \begin{align*} 27 &= (V_c + 3) \cdot t_1 \quad \quad \quad \quad (1)\\ 45 &= (V_c - 3) \cdot t_2 \quad \quad \quad \quad (2)\\ 270 &= t_1 + t_2 \quad \quad \quad \quad \quad (3) \end{align*} \]

Теперь мы можем выразить \(t_1\) и \(t_2\) через \(V_c\):

\[t_1 = \frac{27}{V_c + 3}\]

\[t_2 = \frac{45}{V_c - 3}\]

Подставим эти выражения в уравнение (3):

\[270 = \frac{27}{V_c + 3} + \frac{45}{V_c - 3}\]

Умножим обе стороны на \((V_c + 3)(V_c - 3)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[270 \cdot (V_c + 3)(V_c - 3) = 27 \cdot (V_c - 3) + 45 \cdot (V_c + 3)\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[270 (V_c^2 - 9) = 27V_c - 81 + 45V_c + 135\]

\[270V_c^2 - 2430 = 72V_c\]

\[270V_c^2 - 72V_c - 2430 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

\[V_c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 270\), \(b = -72\), \(c = -2430\).

\[V_c = \frac{72 \pm \sqrt{(-72)^2 - 4 \cdot 270 \cdot (-2430)}}{2 \cdot 270}\]

\[V_c = \frac{72 \pm \sqrt{51840 + 2624400}}{540}\]

\[V_c = \frac{72 \pm \sqrt{2673240}}{540}\]

\[V_c = \frac{72 \pm 1636}{540}\]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(V_c\):

1. \(V_c = \frac{72 + 1636}{540} \approx \frac{1708}{540} \approx 3.16\) км/ч (отрицательный корень не имеет физического смысла в данном контексте).

Таким образом, собственная скорость катера составляет примерно 3.16 км/ч.