Question

Найти сумму:1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+...+1/(n(n+1)(n+2))

Answer 1

$\frac{1}{1*2*3}+\frac{1}{2*3*4}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}= \frac {1}{2} *(\frac{3-1}{1*2*3}+\frac{4-2}{2*3*4}+...+\frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)})= \frac{1}{2}*(\frac{1}{1*2}-\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*3}-\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})= \frac{1}{2}*(\frac{1}{1*2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})= \frac{1}{2}*(\frac{(n+1)(n+2)-1*2}{1*2(n+1)(n+2)})=\frac{n^2+3n+2-2}{4(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

Answer 2

Дана последовательность чисел: 1/(1*2*3), 1/(2*3*4), ..., 1/(n(n+1)(n+2)). Нам нужно найти сумму всех этих чисел.

Для начала, давайте разложим каждое число на простейшие дроби:

1/(1*2*3) = A/(1) + B/(2) + C/(3)

Умножим обе части уравнения на 1*2*3, чтобы избавиться от знаменателя на левой стороне:

1 = A*(2*3) + B*(1*3) + C*(1*2)

1 = 6A + 3B + 2C

Теперь мы можем найти значения A, B и C, решив систему уравнений:

6A + 3B + 2C = 1

Найденные значения A, B и C будут использоваться для всех остальных чисел в последовательности.

Теперь, чтобы найти сумму всех чисел в последовательности, мы можем записать ее в виде:

Сумма = (A/(1) + B/(2) + C/(3)) + (A/(2) + B/(3) + C/(4)) + ... + (A/(n) + B/(n+1) + C/(n+2))

Мы можем сгруппировать числа с одинаковыми значениями A, B и C:

Сумма = A * (1/(1) + 1/(2) + 1/(n)) + B * (1/(2) + 1/(3) + 1/(n+1)) + C * (1/(3) + 1/(4) + 1/(n+2))

Заметим, что каждая скобка представляет собой сумму гармонического ряда. Гармонический ряд имеет вид:

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

Сумма гармонического ряда равна ln(n) + γ, где γ - постоянная Эйлера (примерно 0.57721).

Таким образом, сумма для каждой группы чисел будет равна:

A * (ln(n) + γ) + B * (ln(n+1) + γ) + C * (ln(n+2) + γ)

Теперь мы можем просто подставить значения A, B и C, которые мы нашли ранее, и получить окончательную формулу для суммы всех чисел в последовательности.