Question

Знайдіть екстремуми функцій f(x)=3x^2+4x^3

Answer 1

Знайдемо похідну функції
$f'(x)=(3x^2+4x^3)'=6x+12x^2=6x(1+2x)$
Прирівнюємо похідну до нуля
6x(1+2x)=0
6х=0 звідки слідує що х=0
$1+2x=0=\ \textgreater \ 2x=-1=\ \textgreater \ x=-\frac{1}{2}$
накреслити Ось Ох, на ній відмітити дві точки х=0 та х=-1\2, та отрмаємо три проміжки (- неск; -1\2). [-1\2;0] та (0; неск). изначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів
(- неск; -1\2):  -1:

6*(-1)(1+2*(-1))=-6(1-2)=-6*(-3)=18,  >0

$[-\frac{1}{2};0]: -\frac{1}{4}: \\\\6*(-\frac{1}{4})(1+2*(-\frac{1}{4})=-\frac{6}{4}(1-\frac{2}{4})=\\=-1,5(1-0,5)-1,5*0,5=-0,75$, <0

(0; неск):          1: 

6*1(1+2*1)=6(1+2)=6*3=18,              >0
Отже при точки х=0 та х=-1\2 є точками екстремуму заданої функції
Відповідь: 0 та -1\2

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції f(x) = 3x^2 + 4x^3, потрібно спочатку знайти похідну цієї функції та прирівняти її до нуля.

Знаходження похідної функції

Для знаходження похідної функції f(x) = 3x^2 + 4x^3, спочатку застосуємо правило диференціювання для кожного члена окремо. Похідна кожного члена x^n буде n * x^(n-1).

Отже, похідна функції f(x) = 3x^2 + 4x^3 буде: f'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (4x^3) = 2 * 3x^(2-1) + 3 * 4x^(3-1) = 6x + 12x^2 = 6x(1 + 2x)

Знаходження точок екстремуму

Тепер, щоб знайти точки екстремуму, прирівняємо похідну f'(x) до нуля і розв'яжемо це рівняння:

6x(1 + 2x) = 0

З цього рівняння ми бачимо, що одним з розв'язків є x = 0. Інший розв'язок можна знайти, розклавши дужку:

1 + 2x = 0 2x = -1 x = -1/2

Таким чином, ми знайшли дві точки, в яких похідна дорівнює нулю: x = 0 та x = -1/2. Ці точки є можливими точками екстремуму функції f(x) = 3x^2 + 4x^3.

Визначення типу екстремуму

Щоб визначити тип кожної точки екстремуму, використовуємо другу похідну. Друга похідна дає нам інформацію про зміну першої похідної і допомагає визначити, чи є точка максимумом або мінімумом.

Друга похідна f''(x) може бути знайдена шляхом похідного диференціювання похідної f'(x).

f''(x) = d/dx (6x(1 + 2x)) = 6 * (1 + 2x) + 6x * d/dx (1 + 2x) = 6 * (1 + 2x) + 6x * 2 = 6 + 12x + 12x = 12 + 24x

Визначення типу екстремуму для x = 0

Підставимо x = 0 у другу похідну, щоб визначити тип екстремуму для цієї точки:

f''(0) = 12 + 24 * 0 = 12

Якщо друга похідна дорівнює позитивному числу, в цьому випадку 12, то це означає, що точка x = 0 є мінімумом.

Визначення типу екстремуму для x = -1/2

Підставимо x = -1/2 у другу похідну, щоб визначити тип екстремуму для цієї точки:

f''(-1/2) = 12 + 24 * (-1/2) = 12 - 12 = 0

Якщо друга похідна дорівнює нулю, це означає, що тип екстремуму для точки x = -1/2 визначити не вдається за допомогою другої похідної. У цьому випадку потрібно використовувати інші методи, наприклад, аналіз першої похідної на сегментах, що оточують цю точку.

Таким чином, екстремуми функції f(x) = 3x^2 + 4x^3 такі: - Мінімум при x = 0 - Тип екстремуму при x = -1/2 потребує додаткового аналізу.