Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 54 см^2, а его гипотенуза равна 15. Найти катеты.

Answer 1

S = 1/2 * a*b , где a и b - катеты прямоуг. треугольника, тогда

1/2 * a*b = 54

a*b = 108

 

C другой стороны по теореме Пифагора: 

 

a²+b²=15²

a²+b²=225

 

таким образом, будем рассматривать систему из 2-ух уравнений:

a*b = 108

a²+b²=225

 

Из первого уравннеия: a = 108/b

подставляем во второе:

(108/b)²+b² = 225

11664/b² + b² = 225,    b≠0, а т.к. дело имее с длинами, то они не могут быть еще и отрицательными, т.е. b>0.

Домножим на b² убе части уравнения:

11664+b⁴-225b²=0

Введем замену: b² = t, получим:

t²-225t+11664=0

D = 50625-46656=3969

 

t1 = (225-63)/2 =81

t2 = (225+63)/2 =144

 

делаем обратную замену:

 

b² = 81

b = ± 9 - ,берем только b=9, т.к. b>0

 

b² = 144

b = ± 12 - ,берем только b=12, т.к. b>0

 

Если b = 9, то a = 108/9 = 12

Если b = 12, то a = 108/12 = 9

 

Ответ: катеты равны 9 и 12 или 12 и 9 см.

 

 

 

Answer 2

по теореме пифагора

система
1/2*а*в=54
а^2*в^2=(15)^2

a=9 и b=12

Answer 3

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть $$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - длины катетов. Гипотенуза $$c$$ связана с катетами по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$. Из этих двух уравнений можно выразить катеты через площадь и гипотенузу:

$$a = \sqrt{\frac{2Sc}{c^2 + 2S}}$$

$$b = \sqrt{\frac{2Sc}{c^2 - 2S}}$$

Подставляя заданные значения $$S = 54$$ см^2^ и $$c = 15$$ см, получаем:

$$a = \sqrt{\frac{2 \cdot 54 \cdot 15}{15^2 + 2 \cdot 54}} \approx 9$$ см

$$b = \sqrt{\frac{2 \cdot 54 \cdot 15}{15^2 - 2 \cdot 54}} \approx 12$$ см

Ответ проверяется подстановкой в уравнения площади и теоремы Пифагора:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$$ см^2^

$$c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$$

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см.

Answer 4

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника через \(a\) и \(b\), а его площадь равную 54 \(см^2\) формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Мы также знаем, что гипотенуза равна 15, что в прямоугольном треугольнике соотносится с катетами через теорему Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения \(a\) и \(b\).

Из уравнения площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 54 \,см^2 \] \[ a \cdot b = 108 \,см^2 \]

Теперь, используя уравнение для теоремы Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 15^2 \] \[ a^2 + b^2 = 225 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a \cdot b = 108 \\ a^2 + b^2 = 225 \end{cases} \]

Решим эту систему уравнений.

Мы можем воспользоваться фактом, что квадраты значений \(a\) и \(b\) равны \((a + b)^2 - 2ab\), следовательно:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a + b)^2 = 225 + 2 \cdot 108 \] \[ (a + b)^2 = 441 \]

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[ a + b = \sqrt{441} = 21 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ a + b = 21 \] \[ a \cdot b = 108 \]

Чтобы найти значения \(a\) и \(b\), можно воспользоваться методом подстановки или факторизации числа 108. Найдем два числа, произведение которых равно 108, и сумма 21.

Учитывая, что 9 * 12 = 108 и 9 + 12 = 21, значит катеты треугольника равны 9 см и 12 см соответственно.