Question

На контрольной работе по математике 25 учащимся класса было предложено 5 задач. Общее количество правильных решений задач в классе оказалось равным 100. Известно, что в классе есть школьники, решившие 2 задачи, и есть школьники, решившие 3 задачи. Есть ли в классе ученики, решившие все задачи?

Answer 1

Должно быть решено 25*5=125 задач, но решили только 100 задач  
пусть $x;y;z$  -  это  ученики которые решили соответственно 2 3 и 5 задач 
 $2x+3y+5z=100\\ x=\frac{100-5z-3y}{2}\\ x=50-\frac{5z+3y}{2}\\ x=50-\frac{4z+z+2y+y}{2}\\ x=50-(2z+y)-\frac{z+y}{2}$
$x+y+z=25\\ 2x+3y+5z=100\\ y=50-3z\\ z=15\\ y=5\\ x=5$
то есть да найдется 

Answer 2

Да, в классе есть ученики, решившие все задачи.

Пусть x - количество учеников, решивших все 5 задач. Также известно, что есть ученики, решившие 2 задачи, и их количество неизвестно, обозначим его через у. Аналогично, пусть z - количество учеников, решивших 3 задачи.

Тогда общее количество учеников в классе можно выразить следующим образом: 25 = x + y + z

Также известно, что общее количество правильных решений задач в классе равно 100. Каждая задача имеет разное количество правильных решений, поэтому мы можем записать следующее уравнение: 5x + 2y + 3z = 100

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными x, y и z: x + y + z = 25 5x + 2y + 3z = 100

Эту систему можно решить, например, методом подстановки или методом исключения. Предлагаю решить ее методом исключения.

Умножим первое уравнение на 5 и вычтем из второго уравнения: 5x + 5y + 5z = 125 5x + 2y + 3z = 100 ------------------ 3y + 2z = 25

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными y и z: x + y + z = 25 3y + 2z = 25

Далее, умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения: 2x + 2y + 2z = 50 3y + 2z = 25 ------------------ 2x - y = 25

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными x и y: 2x - y = 25 3y + 2z = 25

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения x, y и z.

Следовательно, чтобы ученики, решившие все задачи, были в классе, необходимо решить систему уравнений и проверить, существуют ли такие значения x, y и z, которые удовлетворяют условию.