Question

(Корень 2)sin(-9pi/2+x)sinx=cosx

Answer 1

Решение на фотке, ес че кидайте тапки, разберемся)

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем его решить:

\((\sqrt{2})\sin\left(-\frac{9\pi}{2} + x\right)\sin x = \cos x\)

Для начала, давайте упростим уравнение. У нас есть произведение трех функций. Рассмотрим каждую из них по отдельности:

1. \(\sqrt{2}\) - это константа, и её можно просто перемножить с остальной частью уравнения.

2. \(\sin\left(-\frac{9\pi}{2} + x\right)\) - используем тригонометрическую формулу синуса для разности углов: \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\).

\[\sin\left(-\frac{9\pi}{2} + x\right) = \sin\left(-\frac{9\pi}{2}\right)\cos x - \cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right)\sin x\]

Так как \(\sin\left(-\frac{9\pi}{2}\right)\) равен 1 (синус периодичен и повторяется каждые \(2\pi\)), а \(\cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right)\) равен 0, упрощаем:

\[\sin\left(-\frac{9\pi}{2} + x\right) = \cos x\]

3. \(\sin x\) - это уже просто \(\sin x\).

Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

\[(\sqrt{2})\cos x \sin x = \cos x\]

Теперь давайте решим это уравнение:

1. Если \(\cos x \neq 0\), мы можем сократить \(\cos x\) с обеих сторон уравнения:

\[(\sqrt{2})\sin x = 1\]

Решение этого уравнения - \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\), что эквивалентно \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Такие значения \(x\), при которых \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), это \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

2. Если \(\cos x = 0\), тогда \(\sin x\) может быть любым значением, и у нас есть бесконечное количество решений, например, \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Итак, решениями уравнения \((\sqrt{2})\sin\left(-\frac{9\pi}{2} + x\right)\sin x = \cos x\) являются:

\[x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad \text{где } k \text{ - целое число, или } x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad \text{где } k \text{ - целое число.}\]