Question

^2-это квадрат 10a^2 - 6a + 2ab + b^2 + 2 > 0 при всіх дійсних значеннях a і b

Answer 1

$10a^2-6a+2ab+b^2+2=(a^2+2ab+b^2)+(9a^2-6a+2)=\\\\=(a+b)^2+(9a^2-6a+2);\\\\\\9a^2-6a+2=0\; ,\\\\D=36-4\cdot 9\cdot 2=36-72=-36\ \textless \ 0\; \; \Rightarrow \; \; 9a^2-6a+2\ \textgreater \ 0\\\\\\(a+b)^2 \geq 0\; ,\; 9a^2-6a+2\ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow \; \; 10a^2-6a+2ab+b^2+2\ \textgreater \ 0$

Если сложить неотрицательное выражение и положительное, то получим положительное выражение .

Answer 2

(9a²-6a+1)+(a²+2ab+b²)+1>0
(3a-1)²+(a+b)²+1>0
(3а-1)≥0 при любом а
(a+b)>0 при любых a и b
1>0
Сумма положительных всегда больше 0.

Answer 3

Для розв'язання даної нерівності розглянемо її як квадратний трином в змінних \(a\) і \(b\):

\[10a^2 - 6a + 2ab + b^2 + 2 > 0\]

Ця нерівність може бути розв'язана за допомогою методу комплексних чисел, використовуючи квадратний трикутник. Однак, ми можемо спростити даний вираз шляхом завершення квадрату для облаштування форми квадрату в двох змінних.

Спочатку, спробуємо розкласти вираз \(10a^2 - 6a + 2ab + b^2 + 2\) у вигляді суми квадратів:

\[10a^2 - 6a + 2ab + b^2 + 2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (9a^2 - 6a + 2)\]

Тепер завершимо квадратний трином \(a^2 + 2ab + b^2\), щоб перетворити його на квадрат:

\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]

Тепер перепишемо вираз з попередніми трансформаціями:

\((a + b)^2 + (9a^2 - 6a + 2)\)

Далі спростимо \((9a^2 - 6a + 2)\) як незалежний вираз.

Тепер ми маємо:

\((a + b)^2 + (9a^2 - 6a + 2) > 0\)

Подивимося на області, де \((a + b)^2\) і \((9a^2 - 6a + 2)\) більше нуля:

1. \((a + b)^2 > 0\): Цей квадрат буде більше нуля для будь-яких дійсних значень \(a\) та \(b\), окрім випадку, коли \(a = -b\). Однак в даному випадку \(a = -b\) також задовольняє \(9a^2 - 6a + 2 > 0\), тому виключення цієї області немає.

2. \(9a^2 - 6a + 2 > 0\): Це квадратне рівняння можна розв'язати, використовуючи дискримінант, але зараз досить зауважити, що це квадратне доданок, який не змінює знак для всіх дійсних значень \(a\). Отже, цей вираз більше нуля для всіх \(a\).

Отже, враховуючи обидва обмеження, ми отримуємо, що вираз \(10a^2 - 6a + 2ab + b^2 + 2\) більше нуля для всіх дійсних значень \(a\) і \(b\).