Question

Уравнение по алгебре log5 x + log5 (x+7) = log5 2 + 2log5 3 Помогите, пожалуйста.

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением пошагово.

У вас есть уравнение:

\[ \log_5{x} + \log_5{(x + 7)} = \log_5{2} + 2\log_5{3} \]

Первым шагом мы можем использовать свойства логарифмов для объединения логарифмов слева:

\[ \log_5{x(x + 7)} = \log_5{2} + \log_5{(3^2)} \]

Следующим шагом мы можем упростить правую сторону, так как \(3^2\) равно 9:

\[ \log_5{x(x + 7)} = \log_5{2} + \log_5{9} \]

Мы также можем использовать свойство \(\log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(bc)}\):

\[ \log_5{x(x + 7)} = \log_5{(2 \cdot 9)} \]

Теперь у нас есть одинаковые логарифмы с обеих сторон уравнения, поэтому мы можем убрать логарифмы:

\[ x(x + 7) = 2 \cdot 9 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 7x = 18 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ x^2 + 7x - 18 = 0 \]

Это квадратное уравнение, и мы можем решить его с использованием формулы квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \(a = 1\), \(b = 7\), и \(c = -18\).

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2} \]

\[ x = \frac{-7 \pm 11}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\):

1. \( x = \frac{-7 + 11}{2} = 2 \) 2. \( x = \frac{-7 - 11}{2} = -9 \)

Теперь, нужно проверить оба значения, подставив их обратно в исходное уравнение, так как в логарифмах не могут быть отрицательные или нулевые аргументы.

1. Проверим \(x = 2\):

\[ \log_5{2} + \log_5{(2 + 7)} = \log_5{2} + \log_5{9} \]

\[ \log_5{2} + \log_5{9} = \log_5{(2 \cdot 9)} \]

\[ \log_5{18} = \log_5{18} \]

Проверка успешна.

2. Проверим \(x = -9\):

\[ \log_5{(-9)} + \log_5{(-9 + 7)} \]

Логарифм отрицательного числа не определен в вещественных числах, поэтому \(x = -9\) не подходит.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \(x = 2\).