Question

докажите, что разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является четным числом.

Answer 1

любое число в квадрате есть число четное. любое число в квадрате всегда больше того самого числа. соответственно, когда из большего вычитают меньшее, получается положительный результат. 

Answer 2

Давайте рассмотрим произвольное натуральное число, обозначим его как \(n\). Тогда квадрат этого числа будет равен \(n^2\). Разность между квадратом числа и самим числом можно записать следующим образом:

\[n^2 - n\]

Теперь давайте вынесем общий множитель:

\[n(n - 1)\]

Мы видим, что произведение двух последовательных натуральных чисел всегда является четным числом. Это можно доказать следующим образом:

Пусть \(n\) - четное число, тогда оно может быть записано как \(n = 2k\), где \(k\) - целое число. Тогда:

\[n(n - 1) = 2k(2k - 1)\]

Одно из чисел \(2k\) и \(2k - 1\) является четным, поэтому произведение обязательно будет четным числом.

Если \(n\) - нечетное число, то оно может быть записано как \(n = 2k + 1\), где \(k\) - целое число. Тогда:

\[n(n - 1) = (2k + 1)(2k)\]

Опять же, одно из чисел \(2k\) и \(2k + 1\) является четным, поэтому произведение обязательно будет четным числом.

Таким образом, разность между квадратом любого натурального числа и самим этим числом (\(n^2 - n\)) является произведением двух последовательных натуральных чисел, и, следовательно, четным числом.