Question

Помогите решить, буду очень признателен Найти экстремум: -3x-2e^(-x)

Answer 1

В чем трудности?

Находите производную: - 3 + 2e^(-x).

Приравниваем ее к нулю:- 3 + 2e^(-x) = 0

Откуда х = In2/3.

При переходе через это значение х производная меняет знак с "+" на "-", потому это точка максимума.

Максимум определяем непосредственной подстановкой:

значение в точке максимума равно 3In3/2 - 3.

 

остались вопросы? Задавайте в личку!)

Answer 2

Для нахождения экстремума функции f(x) = -3x - 2e^(-x), мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Эти значения будут соответствовать локальным минимумам или максимумам функции.

Шаг 1: Найдите производную функции

Для начала найдем производную функции f(x). Производная функции позволяет нам определить скорость изменения функции в каждой точке.

f'(x) = -3 - (-2e^(-x))

Упрощаем:

f'(x) = -3 + 2e^(-x)

Шаг 2: Найдите значения x, при которых f'(x) = 0

Теперь мы хотим найти значения x, при которых производная f'(x) равна нулю.

-3 + 2e^(-x) = 0

Добавим 3 к обеим сторонам уравнения:

2e^(-x) = 3

Разделим обе стороны на 2:

e^(-x) = 3/2

Шаг 3: Решите уравнение e^(-x) = 3/2

Чтобы решить уравнение e^(-x) = 3/2, возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(e^(-x)) = ln(3/2)

Используя свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a), получим:

-x * ln(e) = ln(3/2)

Так как ln(e) = 1:

-x = ln(3/2)

Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от знака минус:

x = -ln(3/2)

Шаг 4: Определите тип экстремума

Теперь, чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, нужно проанализировать вторую производную функции f(x). Если вторая производная отрицательна, то точка будет соответствовать локальному максимуму, а если она положительна, то точка будет соответствовать локальному минимуму.

Шаг 5: Найдите вторую производную функции

Чтобы найти вторую производную функции f(x), возьмем производную от производной f'(x):

f''(x) = d/dx (-3 + 2e^(-x))

f''(x) = 2e^(-x)

Шаг 6: Определите тип экстремума в точке x = -ln(3/2)

Теперь мы подставим найденное значение x = -ln(3/2) во вторую производную функции f''(x), чтобы определить тип экстремума.

f''(-ln(3/2)) = 2e^(-(-ln(3/2)))

f''(-ln(3/2)) = 2e^(ln(3/2))

Упрощаем:

f''(-ln(3/2)) = 2 * (3/2)

f''(-ln(3/2)) = 3

Так как вторая производная f''(-ln(3/2)) равна положительному числу (3), мы можем заключить, что точка x = -ln(3/2) является локальным минимумом функции f(x) = -3x - 2e^(-x).