Question

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: соs^2 х – 0,5sin2х = 1?

Answer 1

$cos^2x-0,5sin2x=1;$
$\frac{cos2x+1}{2}-0,5sin2x=1;$
$cos2x+1-sin2x=2;$
$cos2x-sin2x=1;$
$\frac{1}{ \sqrt{2}}cos2x-\frac{1}{ \sqrt{2}}sin2x= \frac{1}{ \sqrt{2}};$
$cos \frac{ \pi }{4} cos2x-sin \frac{ \pi }{4} sin2x= \frac{1}{ \sqrt{2}};$
$cos(2x+\frac{ \pi }{4})= \frac{1}{ \sqrt{2}};$
$2x+\frac{ \pi }{4}=бarccos \frac{1}{ \sqrt{2}}+2 \pi n,n \in Z;$
$2x+\frac{ \pi }{4}=б\frac{ \pi }{4}+2 \pi n,n \in Z;$
$2x=б\frac{ \pi }{4}-\frac{ \pi }{4}+2 \pi n,n \in Z;$
$x=б\frac{ \pi }{8}-\frac{ \pi }{8}+\pi n,n \in Z;$
$x_1=\frac{ \pi }{8}-\frac{ \pi }{8}+\pi n= \pi n,n \in Z;$
$x_2=-\frac{ \pi }{8}-\frac{ \pi }{8}+\pi n=-\frac{ \pi }{4}+\pi n,n \in Z;$
Наибольший отрицательный корень $x=-\frac{ \pi }{4};$
Ответ: $x=-\frac{ \pi }{4};$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и найдем корни уравнения.

Решение уравнения cos^2(x) - 0.5sin(2x) = 1

Разложим функцию sin(2x) в произведение функций sin(x) и cos(x) с использованием формулы двойного угла:

cos^2(x) - 0.5 * 2sin(x)cos(x) = 1

Упростим уравнение:

cos^2(x) - sin(x)cos(x) = 1

Перепишем уравнение, заменив cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

1 - sin^2(x) - sin(x)cos(x) = 1

Перенесем все члены в одну сторону:

sin^2(x) + sin(x)cos(x) = 0

Теперь применим формулу синуса двойного угла, чтобы преобразовать выражение sin(x)cos(x):

sin(x)cos(x) = 0.5sin(2x)

Подставим это значение в уравнение:

sin^2(x) + 0.5sin(2x) = 0

Давайте решим это уравнение по отдельности.

Решение уравнения sin^2(x) + 0.5sin(2x) = 0

Для начала рассмотрим уравнение sin^2(x) = 0.

Уравнение sin^2(x) = 0 имеет корень x = 0.

Теперь рассмотрим уравнение 0.5sin(2x) = 0.

Если sin(2x) = 0, то 2x = kπ, где k - целое число.

Разделим оба равенства на 2:

x = kπ/2, где k - целое число.

Таким образом, уравнение sin^2(x) + 0.5sin(2x) = 0 имеет корни x = 0 и x = kπ/2, где k - целое число.

Поиск наибольшего отрицательного корня

Мы заметим, что корни уравнения x = kπ/2 являются периодическими с периодом π/2.

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, мы можем ограничиться только отрицательными значениями x в пределах первого периода (от -π/2 до 0).

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения sin^2(x) + 0.5sin(2x) = 0 равен x = -π/2.

Проверим это, подставив x = -π/2 в исходное уравнение:

cos^2(-π/2) - 0.5sin(-π) = 1

0 - 0.5 * 0 = 1

Условие уравнения не выполняется, поэтому уравнение sin^2(x) + 0.5sin(2x) = 0 не имеет корней в заданном диапазоне.

Таким образом, уравнение sin^2(x) + 0.5sin(2x) = 0 не имеет наибольшего отрицательного корня.