Question

В Прямоугольном треугольнике АВС угол С=90 градусов, AD- биссектриса, CD=6, AB=15. Найти площадь треугольника АВC

Answer 1

1) рассмотрим треугольник ABC
Угол В=180градусов-90градусов=90градусов
2)площадь равна:90-15=75
Ответ: площадь=75

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и биссектрисой. Первым шагом найдем длину отрезка \(BD\), где точка \(D\) - точка пересечения биссектрисы с гипотенузой.

Известно, что биссектриса делит угол \(C\) на два равных угла, следовательно, угол \(ACD\) равен углу \(BCD\).

Также, треугольники \(ABC\) и \(ACD\) подобны по углам (по признаку углов). Следовательно, отношение сторон треугольников равно отношению длин биссектрисы к гипотенузе:

\[\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{AD}{15} = \frac{BD}{BC}.\]

Также, известно, что \(CD = 6\). Теперь можем выразить \(BD\) через \(BC\):

\[BD = \frac{AD}{15} \cdot BC.\]

Так как \(BD + CD = BC\), подставим значения:

\[\frac{AD}{15} \cdot BC + 6 = BC.\]

Решим уравнение относительно \(BC\):

\[\frac{AD}{15} \cdot BC = 6.\]

\[BC = \frac{15}{AD} \cdot 6.\]

Теперь, когда мы знаем длину отрезка \(BD\) и длину отрезка \(CD\), можем найти длину отрезка \(BC\):

\[BC = BD + CD.\]

\[BC = \frac{AD}{15} \cdot BC + 6.\]

Решим уравнение относительно \(BC\):

\[\frac{AD}{15} \cdot BC = 6.\]

\[BC = \frac{15}{AD} \cdot 6.\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника \(ABC\). Мы можем использовать формулу полупериметра и площади треугольника Герона для вычисления площади:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2}.\]

\[S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}.\]

Подставим значения и решим:

\[p = \frac{15 + \frac{15}{AD} \cdot 6 + AD}{2}.\]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника:

\[S = \sqrt{p \cdot \left(p - 15\right) \cdot \left(p - \frac{15}{AD} \cdot 6\right) \cdot \left(p - AD\right)}.\]

Подставим значения и решим.