Question

Существует ли такие три действительные числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трехчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Answer 1

Положим что такое возможно. Тк мы имеем права в любой итерации перемены местами коэффициентов ,при поиске корней поделить обе части уравнения на любой его -коэффициент,(Тк он константа),то Можно принять первый член произвольно равным единице.(надеюсь понятно) Тогда уравнение примет вид: x^2+bx+c=0. По теореме Виета когда два положительных решения,очевидно,что. b=-(x1+x2)<0 c=x1*x2>0 То есть мы имеем : 1>0, b<0,c>0 На какой то итерации перестановок получим два отрицательных корня. Тогда произведение его корней также положительно,а вот сумма корней станет отрицательной.(то второй коэффициент должен быть положительным!) Тогда кандидатом на второй коэффициент могут быть либо 1 либо с. 1 быть не может,тк произведение корней равно отношению последнего и первого члена(теорема Виета) ,но b и c разных знаков,то их отношение отрицательно,что противоречит положительности произведения корней. Аналогично с не может быть вторым членом,тк b<0 ;1>0. То есть мы пришли к противоречит. То есть таких a,b,c не существует

Answer 2

Existence of Real Numbers with Different Positive and Negative Roots in a Quadratic Polynomial

To determine if there exist three real numbers that, when used as coefficients of a quadratic polynomial, result in two distinct positive roots when arranged in one order and two distinct negative roots when arranged in another order, we can analyze the properties of quadratic equations.

A quadratic equation is of the form ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are coefficients and x is the variable. The roots of a quadratic equation can be found using the quadratic formula:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

To have two distinct positive roots, the discriminant (b^2 - 4ac) must be positive. Similarly, to have two distinct negative roots, the discriminant must still be positive. Therefore, we need to find three real numbers a, b, and c such that the discriminant is positive for both arrangements.

Let's consider the two possible arrangements of the coefficients:

1. ax^2 + bx + c = 0 (Arrangement 1) 2. cx^2 + bx + a = 0 (Arrangement 2)

For both arrangements, we want the discriminant to be positive.

Let's assume that a, b, and c are positive real numbers. In Arrangement 1, the discriminant is given by (b^2 - 4ac), which is positive if b^2 > 4ac. In Arrangement 2, the discriminant is given by (b^2 - 4ac), which is positive if b^2 < 4ac.

Since b^2 cannot be both greater than and less than 4ac, it is not possible to find three real numbers that satisfy the conditions of having two distinct positive roots in one arrangement and two distinct negative roots in another arrangement.

Therefore, it can be concluded that there do not exist three real numbers that, when used as coefficients of a quadratic polynomial, result in two distinct positive roots in one arrangement and two distinct negative roots in another arrangement.

Please let me know if you need any further clarification or assistance.