Question

Число 9 представте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим

Answer 1

 

Пусть первое слагаемое равно х, тогда второе слагаемое равно 9-х.

По условию, х-неотрицательно, т.е. х>=0

Составляем функцию:

f(x)=x^2 * 3(9-x)

Находим производную:

f`(x)=(x^2*(27-3x))`=(27x^2-3x^3)`=54x-9x^2=9x(6-x)

Приравниваем производную нулю:

f`(x)=0  при 9x(6-x)=0

                     х=0 или 6-х=0

                                  х=6

 На числовой прямой расставляем точки 0 и 6.

 

Считаем знаки в полученных промежутках.

Слева направо получаем "-", "+","-".

Значит х=0- точка min

           x=6-  точка max

Других точек экстремума нет

Следовательно, в точке х=6 функция достигает своего наибольшего значения.

 

Итак, первое слагаемое равно 6, а второе равно 9-6=3

                  

Answer 2

Чтобы представить число 9 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим, мы можем использовать метод оптимизации или простой анализ.

Анализ:

Пусть первое слагаемое равно x, а второе - y. Тогда у нас есть следующее условие:

x + y = 9

Мы хотим максимизировать произведение x^2 * (3y). Можем переписать это условие в виде:

f(x, y) = x^2 * (3y)

Мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения x и y, которые удовлетворяют условию и максимизируют функцию f(x, y).

Решение:

1. Представим x через y: x = 9 - y 2. Подставим x в функцию f(x, y): f(y) = (9 - y)^2 * (3y) 3. Найдем максимум функции f(y) с помощью дифференцирования: - Найдем производную f'(y) = 0 - Решим уравнение f'(y) = 0, чтобы найти критические точки - Проверим значения f''(y) в критических точках, чтобы убедиться, что они являются максимумами 4. Найдем значения x и y, удовлетворяющие условию x + y = 9

Вычисление:

1. Представим x через y: x = 9 - y 2. Подставим x в функцию f(x, y): f(y) = (9 - y)^2 * (3y) 3. Найдем производную f'(y) и приравняем ее к 0: f'(y) = 6y^3 - 54y^2 + 81y = 0 4. Решим уравнение f'(y) = 0: y(6y^2 - 54y + 81) = 0 y(y^2 - 9y + 13.5) = 0 Решений этого уравнения нет, так как дискриминант отрицательный. Однако, мы можем найти критические точки, вычислив производную в других точках. Вычислим производную в y = 0: f'(0) = 81 Вычислим производную в y = 9: f'(9) = -81 5. Проверим значения f''(y) в критических точках: Вычислим вторую производную f''(y) = 6(3y^2 - 18y + 27) Вычислим f''(0) = 162, f''(9) = 162 Оба значения положительные, поэтому у нас есть максимумы в y = 0 и y = 9. 6. Подставим y = 0 в x + y = 9: x + 0 = 9 x = 9 Подставим y = 9 в x + y = 9: x + 9 = 9 x = 0 Итак, у нас есть два набора значений: (x, y) = (9, 0) и (x, y) = (0, 9).

Ответ:

Число 9 можно представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим, следующими способами: - 9 = 9 + 0, где 9^2 * (3*0) = 0 - 9 = 0 + 9, где 0^2 * (3*9) = 0

Оба варианта дают произведение равное 0, которое является наибольшим.