Question

Найти производную функции x^3/x^2+5

Answer 1

(3х^2*(х^2+5)-х^3*2х)/(х^2+5)^2

Answer 2

Для нахождения производной функции \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 5}\), мы можем использовать правило производной частного функций.

Производная частного функций

Если у нас есть функции \(f(x)\) и \(g(x)\), то производная их частного равна: \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\)

Применение правила к нашей функции

В нашем случае, \(f(x) = x^3\) и \(g(x) = x^2 + 5\). Мы сначала найдем производные \(f'(x)\) и \(g'(x)\), а затем подставим их в формулу для производной частного.

1. Найдем производную \(f'(x)\) функции \(f(x) = x^3\). Для этого используем правило производной степенной функции: \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) В нашем случае, \(n = 3\), поэтому: \(f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2\)

2. Найдем производную \(g'(x)\) функции \(g(x) = x^2 + 5\). Для этого снова используем правило производной степенной функции: \(g'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2 \cdot x\)

3. Подставим найденные производные в формулу для производной частного: \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\) \(\left(\frac{x^3}{x^2 + 5}\right)' = \frac{(3 \cdot x^2) \cdot (x^2 + 5) - (x^3) \cdot (2 \cdot x)}{(x^2 + 5)^2}\)

Таким образом, производная функции \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 5}\) равна: \(\frac{(3 \cdot x^2) \cdot (x^2 + 5) - (x^3) \cdot (2 \cdot x)}{(x^2 + 5)^2}\)

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использованы результаты поиска, но не указаны конкретные источники.