Question

Решите неравенство 2sin2x+√3≥0

Answer 1

$2sin2x+\sqrt3 \geq 0\\sin2x \geq - \frac{\sqrt3}{2}\\-\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq 2x \leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n\\-\frac{\pi}{6}+\pi n \leq x \leq \frac{2\pi}{3}+\pi n, \; n\in Z$

Answer 2

Чтобы решить неравенство 2sin^2(x) + √3 ≥ 0, мы можем разбить его на два случая, исходя из диапазона значений синуса и радикала.

Предположим, что sin(x) ≥ 0. В этом случае, если sin(x) = 0, то sin^2(x) = 0, и неравенство становится √3 ≥ 0, что выполняется. Если sin(x) > 0, то sin^2(x) > 0, и неравенство принимает вид 2sin^2(x) + √3 ≥ 0. Здесь нам нужно проверить, когда это неравенство выполняется. Разделим обе части на 2, получим sin^2(x) + √3/2 ≥ 0. Теперь подставим sin^2(x) = 1 - cos^2(x) и получим 1 - cos^2(x) + √3/2 ≥ 0. Перегруппируем слагаемые и получим -cos^2(x) + 1 + √3/2 ≥ 0. Умножим обе части на -1, чтобы поменять знак неравенства и получим cos^2(x) - 1 - √3/2 ≤ 0. Теперь заметим, что cos^2(x) ≤ 1, поэтому неравенство превращается в -1 - √3/2 ≤ 0, что выполняется.

Таким образом, если sin(x) ≥ 0, то неравенство 2sin^2(x) + √3 ≥ 0 выполняется.

Теперь рассмотрим случай, когда sin(x) < 0. В этом случае sin^2(x) > 0, и неравенство принимает вид 2sin^2(x) + √3 ≥ 0. Аналогично предыдущему случаю, мы получим sin^2(x) + √3/2 ≥ 0. Подставив sin^2(x) = 1 - cos^2(x), мы получим 1 - cos^2(x) + √3/2 ≥ 0. Умножив обе части на -1, чтобы поменять знак неравенства, получим cos^2(x) - 1 + √3/2 ≤ 0. Заметим, что cos^2(x) ≤ 1, поэтому неравенство превращается в -1 + √3/2 ≤ 0, что также выполняется.

Таким образом, если sin(x) < 0, то неравенство 2sin^2(x) + √3 ≥ 0 также выполняется.

Итак, неравенство 2sin^2(x) + √3 ≥ 0 выполняется для всех значений x, когда sin(x) ≥ 0 и sin(x) < 0. Это означает, что решением данного неравенства является весь диапазон значений x.