Question

Решить уравнения : а ) sin 2x + 2 cos x = 0 б) cos 4x + sin22x = 0

Answer 1

Sin2x+2cosx=0
 2sinxcosx+2cosx=0
 2cosx(sinx+1)=0,
cosx=0, x=π/2+πn,n∈z,
sinx+1=0 , sinx=-1, x=-π/2+2πn,n∈z
2) cos4x+sin^22x=0,
  cos^22x-sin^22x+sin^22x=0,
 cos^22x =0, 2x=π/2+πn,n∈z, x=π/4+πn/2,n∈z..

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

а) \( \sin(2x) + 2\cos(x) = 0 \)

Для решения этого уравнения, давайте преобразим его, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), поэтому уравнение становится:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\cos(x) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель:

\[ 2\cos(x)(\sin(x) + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных случая:

1. \( \cos(x) = 0 \) 2. \( \sin(x) + 1 = 0 \)

Для первого случая решение \( \cos(x) = 0 \) это \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) - целое число.

Для второго случая решение \( \sin(x) + 1 = 0 \) это \( \sin(x) = -1 \), что соответствует \( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \( \sin(2x) + 2\cos(x) = 0 \):

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \text{ или } x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \] где \( k \) - целое число.

б) \( \cos(4x) + \sin(2x) = 0 \)

Давайте рассмотрим это уравнение. Мы видим, что это уравнение включает как квадрат косинуса, так и квадрат синуса. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для преобразования уравнения.

\[ \cos(4x) + \sin(2x) = 0 \]

Используем тригонометрические тождества:

\[ 2\cos^2(2x) - 1 + 2\sin(x)\cos(x) = 0 \]

Теперь давайте заменим \(\sin(2x)\) из предыдущего уравнения:

\[ 2(1 - \sin^2(x)) - 1 + 2\sin(x)\cos(x) = 0 \]

Упростим:

\[ 2 - 2\sin^2(x) - 1 + 2\sin(x)\cos(x) = 0 \]

\[ 2\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + 1 = 0 \]

Теперь мы можем решить это уравнение, представив его как квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\):

\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 0 \]

Отсюда получаем единственное решение:

\[ \sin(x) = \cos(x) \]

Это выполняется, когда \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), где \( k \) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \( \cos(4x) + \sin(2x) = 0 \):

\[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] где \( k \) - целое число.