Question

Упростите выражение 1- sin2( x\2-3п)-cos 2(x/4)+sin2(x\4)

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Давайте пошагово упростим выражение \(1 - \sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)\).

1. Раскроем квадрат синуса в первом члене: \[1 - \sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) = \cos^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right).\]

2. Второй член содержит квадрат косинуса и квадрат синуса. Используем тригонометрическую тождественность \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\): \[-\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = -\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + (1 - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right)).\]

3. Теперь объединим члены и упростим: \[\cos^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + (1 - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right)).\]

4. Применим разность квадратов \(\cos^2\theta - \cos^2\phi = (\cos\theta + \cos\phi)(\cos\theta - \cos\phi)\): \[(\cos\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) + \cos\left(\frac{x}{4}\right))(\cos\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) - \cos\left(\frac{x}{4}\right)) + (1 - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right)).\]

5. Заметим, что в первом множителе встречается сумма косинусов с разными аргументами, и мы можем использовать тождественность суммы косинусов: \[2\cos\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) + (1 - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right)).\]

6. Теперь упростим второе слагаемое, используя тождественность синуса: \[2\cos\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right).\]

Это упрощенное выражение представляет собой результат упрощения вашего исходного выражения.