Question

35 баллов докажите тождество (1+ctg^2)*cos^4+sin^2=1

Answer 1

(1 + tg²a)•cos⁴a + sin²a = 1
(1 + sin²a/cos²a)•cos⁴a = 1 - sin²a
(1 + sin²a/cos²a)•cos⁴a = cos²a
1 + sin²a/cos²a = 1/cos²a
cos²a/cos²a + sin²a/cos²a= 1/cos²a
(sin²a + cos²a)/cos²a = 1/cos²a
1/cos²a = 1/cos²a

P.s., вместо ctg²a должен быть tg²a, иначе тождество неверно.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические идентичности и алгебраические преобразования. Давайте разберемся подробнее.

Идентичности:

1. Синус и косинус: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (Идентичность Пифагора) 2. Котангенс: $\cot^2(x) = \frac{1}{\tan^2(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$

Доказательство:

Начнем с левой стороны тождества:

$(1 + \cot^2(x)) \cdot \cos^4(x) \cdot \sin^2(x)$

Согласно идентичности котангенса, мы можем заменить $\cot^2(x)$ на $\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$:

$(1 + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}) \cdot \cos^4(x) \cdot \sin^2(x)$

Раскроем скобки:

$\cos^4(x) \cdot \sin^2(x) + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \cos^4(x) \cdot \sin^2(x)$

Факторизуем $\cos^2(x) \cdot \sin^2(x)$:

$\cos^2(x) \cdot \sin^2(x) \cdot (\cos^2(x) + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)})$

Согласно идентичности Пифагора, $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Мы можем заменить это выражение в скобках:

$\cos^2(x) \cdot \sin^2(x) \cdot (1 + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)})$

Теперь мы видим, что у нас есть два слагаемых с общим множителем $\cos^2(x) \cdot \sin^2(x)$. Мы можем объединить их в одно слагаемое:

$\cos^2(x) \cdot \sin^2(x) \cdot (1 + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}) = \cos^2(x) \cdot \sin^2(x) \cdot \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}$

Согласно идентичности Пифагора, $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Заменим эту часть:

$\cos^2(x) \cdot \sin^2(x) \cdot \frac{1}{\sin^2(x)}$

Теперь у нас есть отношение между $\cos^2(x) \cdot \sin^2(x)$ и $\sin^2(x)$. Они обоими являются множителями в числителе и знаменателе, поэтому они сокращаются:

$\cos^2(x) \cdot \sin^2(x) \cdot \frac{1}{\sin^2(x)} = \cos^2(x)$

Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна $\cos^2(x)$.

Результат:

Таким образом, мы доказали, что тождество $(1 + \cot^2(x)) \cdot \cos^4(x) \cdot \sin^2(x) = \cos^2(x)$ верно.