Question

Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе у=1/х и осями координат.

Answer 1

Y=1/x
y=y(a)+y`(a)(x-a) - уравнение касательной в точке a
y(a)=1/a    a≠0
y`=-1/x^2
y`(a)=1/a-1/a^2(x-a)
y=1/a-x/a^2+1/a
1/a-x/a^2+1/a=0
-xa^2=-2/a
x=2a
S=ln(2a)

Answer 2

Для нахождения площади треугольника, образованного касательной к гиперболе и осями координат, нам понадобится использовать некоторые математические методы и формулы.

Для начала, давайте построим график гиперболы u = 1/x. Гипербола имеет асимптоты, которые параллельны осям координат, и пересекает оси координат в двух точках: (1, 1) и (-1, -1). Уравнение касательной к гиперболе в точке (x0, y0) имеет вид:

y - y0 = f'(x0)(x - x0),

где f'(x0) - производная функции f(x) = 1/x, которую мы найдем в следующем шаге.

Для нахождения производной функции f(x) = 1/x, мы можем использовать правило дифференцирования обратной функции. Производная функции f(x) = 1/x равна:

f'(x) = -1/x^2.

Теперь мы можем найти уравнение касательной к гиперболе в точке (x0, y0). Подставим найденное значение производной в уравнение касательной:

y - y0 = (-1/x0^2)(x - x0).

Теперь, чтобы найти точки пересечения касательной с осями координат, мы можем подставить y = 0 и x = 0 в уравнение касательной. Получаем:

0 - y0 = (-1/x0^2)(x - x0), x - x0 = 0 - y0.

Отсюда получаем два уравнения:

x - x0 = 0 - y0, y = 0,

которые мы можем решить относительно x и y. Решение этих уравнений даст нам координаты точек пересечения касательной с осями координат.

Теперь, когда у нас есть координаты трех точек: точки пересечения касательной с осями координат и точки касания касательной с гиперболой, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона или формулу полупериметра.

Результаты будут зависеть от конкретных координат точек и масштаба графика, поэтому я не могу дать конкретный ответ без указания координат точек. Однако, я могу помочь вам с решением конкретной задачи, если вы предоставите координаты точек или уточните условие задачи.