Question

Разложите на множетели: 1)a^4-b^4 2)a^6-b^6 3)a^8-b^8 4)a^4+a^3+a+1 5) (a+b)^3-(a-b)^3 6) (a+b)^4-(a-b)^4

Answer 1

$1)\quad a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)\\\\2)\quad a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^2)=\\\\=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)\\\\3)\; \; a^8-b^8=(a^4-b^4)(a^4+b^4)=\\\\=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2(a^4+b^4)\\\\4)\; \; a^4+a^3+a+1=a^3(a+1)+(a+1)=(a+1)(a^3+1)=\\\\=(a+1)(a+1)(a^2-a+1)=(a+1)^2(a^2-a+1)\\\\5)\; \; (a+b)^3-(a-b)^3=\\\\=\Big((a+b)-(a-b)\Big)\Big ((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2\Big)=\\\\=2b(a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2)\\\\=2b\cdot (2a^2+2b^2+a^2-b^2)=2b\cdot (3a^2+b^2)$

$6)\; \; (a+b)^4-(a-b)^4=\\\\=\Big ((a+b)^2-(a+b)^2\Big )\Big ((a+b)^2+(a-b)^2\Big)=\\\\=\Big((a+b)-(a-b)\Big )\Big((a+b)+(a-b)\Big)\Big(a^2+2ab+b^2+\\\\+a^2-2ab+b^2\Big)=2b\cdot 2a\cdot (2a^2+2b^2)=8ab\cdot (a^2+b^2)$

Answer 2

Да, конечно! Разложим указанные выражения на множители.

1) \(a^4 - b^4\):

Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Применяем её дважды:

\[a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b).\]

2) \(a^6 - b^6\):

Используем формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Применяем её дважды:

\[a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a^3 + b^3).\]

3) \(a^8 - b^8\):

Используем формулу разности четвёртых степеней:

\[a^8 - b^8 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)(a^4 + b^4).\]

4) \(a^4 + a^3 + a + 1\):

Данное выражение не является разностью степеней, поэтому его разложение на множители будет сложнее. Однако, если вы видите какой-то определённый порядок в коэффициентах, можно попробовать факторизовать его с учетом этого порядка. Например:

\[a^4 + a^3 + a + 1 = a^3(a + 1) + (a + 1) = (a^3 + 1)(a + 1).\]

5) \((a + b)^3 - (a - b)^3\):

Это разность кубов, и мы можем воспользоваться формулой разности кубов:

\[(a + b)^3 - (a - b)^3 = (a + b - a + b)((a + b)^2 + (a - b)^2 + (a + b)(a - b))\]

\[(a + b)^3 - (a - b)^3 = 2b(2a^2 + 2b^2 + 2ab - 2ab) = 8ab(a + b).\]

6) \((a + b)^4 - (a - b)^4\):

Это разность четвёртых степеней, и мы можем воспользоваться формулой разности четвёртых степеней:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = (a + b - a + b)((a + b)^3 + (a - b)^3 + ((a + b)^2 - (a - b)^2))\]

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 2b(4a^3 + 12ab^2) = 8ab(2a^2 + 3b^2).\]

Теперь у вас есть разложение данных выражений на множители.