Question

Преобразовать в многочлен стандартного вида (x^2-x+1)(x^2+x+1)(y-1)(y^5-y^4+y^3-y^2+y-1)

Answer 1

1)  x4+x2+1
2) y6−2y5+2y4−2y3+2y2−2y+1

Answer 2

Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен стандартного вида, нужно выполнить раскрытие скобок и объединение подобных членов. Давайте выполним этот процесс поочередно:

1. Раскроем скобки \( (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) \): \[ (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 - x^3 - x^2 - x + x^2 + x - 1 = x^4 - 1 \]

2. Раскроем скобки \( (y - 1)(y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1) \): \[ (y - 1)(y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1) = y^6 - y^5 + y^4 - y^3 + y^2 - y - y^5 + y^4 - y^3 + y^2 - y + 1 = y^6 - 2y^5 + 2y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 2y + 1 \]

Теперь у нас есть произведение двух раскрытых скобок:

\[ (x^4 - 1)(y^6 - 2y^5 + 2y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 2y + 1) \]

3. Перемножим многочлены:

\[ x^4(y^6 - 2y^5 + 2y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 2y + 1) - (y^6 - 2y^5 + 2y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 2y + 1) \]

4. Раскроем скобки:

\[ x^4y^6 - 2x^4y^5 + 2x^4y^4 - 2x^4y^3 + 2x^4y^2 - 2x^4y + x^4 - y^6 + 2y^5 - 2y^4 + 2y^3 - 2y^2 + 2y - 1 \]

5. Упорядочим члены по степеням переменных:

\[ x^4y^6 - 2x^4y^5 + 2x^4y^4 - 2x^4y^3 + 2x^4y^2 - 2x^4y - y^6 + 2y^5 - 2y^4 + 2y^3 - 2y^2 + 2y + x^4 - 1 \]

Таким образом, многочлен стандартного вида, эквивалентный заданному выражению, будет:

\[ x^4y^6 - 2x^4y^5 + 2x^4y^4 - 2x^4y^3 + 2x^4y^2 - 2x^4y - y^6 + 2y^5 - 2y^4 + 2y^3 - 2y^2 + 2y + x^4 - 1 \]