Question

помогите пожалуйста!!!Сумма трёх целых чисел делится на 6.Доказать,что и сумма кубов этих чисел будет делиться на 6

Answer 1

Для любого целого 
x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) 
Произведение трёх последовательных чисел. 
Хотя бы одно из них делится на 2, ровно одно делится на 3, произведение делится на6 
a^3+b^3+c^3-(a+b+c)=a^3-a+b^3-b+c^3-c, делится на 6. 
a+b+c делится на 6 
Разность делится, вычитаемое делится, 
a^3+b^3+c^3 делится на 6.

Answer 2

Для доказательства того, что сумма кубов трех целых чисел, которые делятся на 6, также будет делиться на 6, мы можем воспользоваться математическими свойствами и алгеброй.

Пусть a, b и c - три целых числа, сумма которых делится на 6. Мы можем записать это как:

a + b + c = 6k, где k - целое число.

Чтобы доказать, что сумма кубов этих чисел также будет делиться на 6, мы возьмем кубы обеих сторон этого уравнения:

(a + b + c)^3 = (6k)^3

Раскрывая левую сторону этого уравнения, получим:

a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3 = 216k^3

Обратите внимание, что каждый член суммы на левой стороне содержит одну из трех переменных a, b или c, возведенных в степень 3. Таким образом, мы можем разделить каждый член на 6:

(a^3 + b^3 + c^3) + 3(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) = 6(36k^3)

Мы видим, что первый член в скобках (a^3 + b^3 + c^3) является суммой кубов трех чисел. Также мы видим, что второй член в скобках является целым числом, так как каждый из его слагаемых (a^2b, ab^2, a^2c, ac^2, b^2c, bc^2) содержит две переменные, каждая из которых взята в степень не меньше, чем 1.

Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(a^3 + b^3 + c^3) + 3m = 6(36k^3)

где m - целое число.

Теперь мы видим, что сумма кубов трех чисел (a^3 + b^3 + c^3) также делится на 6, так как она является произведением 6 и некоторого целого числа.

Таким образом, мы доказали, что если сумма трех целых чисел делится на 6, то и сумма кубов этих чисел также будет делиться на 6.