Question

О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Answer 1

  
 Пусть дана непрерывная функция , это значит что нет деления на нуль ,  если дана функция $f(x)$ , то функция задаваемая на всей  вещественной прямой , значит нет дроби к примеру  $f(x)=\frac{sinx}{x}$ которая определена  $x \neq 0$ ,  то функция 
 $f(ax)$ будет лишь отличатся на множитель $a$ , что означает что изначальная функция $f(x)$ непрерывна 

Answer 2

Функция f(x) и ее свойства

Пусть функция f(x) задана на всей вещественной прямой. Известно, что для любого числа a > 1 выполняется условие f(x) = f(ax). Также известно, что функция f(x) непрерывна на всей прямой.

Доказательство непрерывности функции f(x)

Для доказательства непрерывности функции f(x) на всей прямой, мы можем воспользоваться определением непрерывности функции.

Определение непрерывности функции: Функция f(x) непрерывна в точке x = c, если для любого положительного числа ε существует положительное число δ, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x - c| < δ, выполняется неравенство |f(x) - f(c)| < ε.

Давайте предположим, что функция f(x) не является непрерывной на всей прямой. Это означает, что существует точка c, в которой не выполняется определение непрерывности.

Пусть ε > 0 будет произвольным положительным числом. Так как функция f(x) непрерывна в точке c, то существует положительное число δ, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x - c| < δ, выполняется неравенство |f(x) - f(c)| < ε.

Теперь рассмотрим точку x = ac, где a > 1. Используя условие f(x) = f(ax), мы можем записать |f(ac) - f(c)| < ε.

Таким образом, мы получили, что для всех x, удовлетворяющих условию |x - ac| < δ, выполняется неравенство |f(x) - f(ac)| < ε.

Это означает, что функция f(x) также непрерывна в точке ac. Поскольку a > 1 является произвольным числом, мы можем продолжить этот процесс и показать, что функция f(x) непрерывна на всей прямой.

Таким образом, мы доказали, что если функция f(x) удовлетворяет условию f(x) = f(ax) для любого a > 1 и непрерывна на всей прямой, то она также непрерывна на всей прямой.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что если функция f(x) удовлетворяет условию f(x) = f(ax) для любого a > 1 и непрерывна на всей прямой, то она также непрерывна на всей прямой.