Question

Освободитесь от иррациональности в знаменателе, 8кл.: 1) 1 / (√5+√3+1) 2) 1 / ( √7+√6+2)

Answer 1

$\frac{1}{ \sqrt{5}+\sqrt{3}+1} =\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{5}}{(\sqrt{3}+1)^2-5}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{5}}{3+2\sqrt{3}+1-5}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{5}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1-\sqrt{5})(2\sqrt{3}+1)}{12-1}=$$\frac{6+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+1-2\sqrt{15}-\sqrt5}{11}=\frac{7+3\sqrt{3}-2\sqrt{15}-\sqrt5}{11}$

$\frac{1}{ \sqrt{7}+\sqrt{6}+2} =\frac{\sqrt{6}+2-\sqrt{7}}{(\sqrt{6}+2)^2-7}=\frac{\sqrt{6}+2-\sqrt{7}}{6+4\sqrt{6}+4-7}=\frac{\sqrt{6}+2-\sqrt{7}}{4\sqrt{6}+3}=\frac{(\sqrt{6}+2-\sqrt{7})(4\sqrt{6}-3)}{96-9}=$$\frac{(\sqrt{6}+2-\sqrt{7})(4\sqrt{6}-3)}{96-9}=\frac{24-3\sqrt{6}+8\sqrt{6}-6-4\sqrt{42}+3\sqrt{7}}{87}=\frac{18+5\sqrt{6}-4\sqrt{42}+3\sqrt{7}}{87}$

Answer 2

Для освобождения от иррациональности в знаменателе, мы можем использовать метод рационализации. Этот метод позволяет нам преобразовать выражения с иррациональными числами в эквивалентные выражения с рациональными числами.

Рационализация знаменателя выражения 1/(√5+√3+1):

Чтобы рационализировать знаменатель в данном выражении, мы можем использовать метод умножения на сопряженное значение. Сопряженное значение для выражения (√5+√3+1) будет (√5-√3-1). Умножим числитель и знаменатель на это сопряженное значение:

1/(√5+√3+1) * (√5-√3-1)/(√5-√3-1)

Выполним умножение числителя и знаменателя:

= (√5-√3-1)/(5-√15-√15+3-√3-√3+1-√5+√5+1) = (√5-√3-1)/(5-2√15+3-2√3+1-√5+√5+1) = (√5-√3-1)/(10-2√15-2√3)

Теперь знаменатель стал рациональным. Мы можем упростить это выражение сократив общие части в числителе и знаменателе:

= (√5-√3-1)/(-2√15-2√3+10) = - (√5-√3-1)/(2√15+2√3-10)

Рационализация знаменателя выражения 1/(√7+√6+2):

Аналогично, чтобы рационализировать знаменатель в данном выражении, мы можем использовать метод умножения на сопряженное значение. Сопряженное значение для выражения (√7+√6+2) будет (√7-√6-2). Умножим числитель и знаменатель на это сопряженное значение:

1/(√7+√6+2) * (√7-√6-2)/(√7-√6-2)

Выполним умножение числителя и знаменателя:

= (√7-√6-2)/(7-√42-√42+6-√6-√6+2-√7+√7+4) = (√7-√6-2)/(13-√42-√42-√6-√6-√7+√7+4) = (√7-√6-2)/(13-2√42-2√6-√7+√7+4) = (√7-√6-2)/(17-2√42-2√6)

Теперь знаменатель стал рациональным. Мы можем упростить это выражение сократив общие части в числителе и знаменателе:

= (√7-√6-2)/(-2√42-2√6+17) = - (√7-√6-2)/(2√42+2√6-17)

Таким образом, мы рационализировали знаменатели в обоих выражениях.