Question

Определите, является ли число иррациональным √6+√5/√6-√5-2√30

Answer 1

   (√6 + √5) / (√6 - √5) -2√30 =
= (√6 + √5) / (√6 - √5) - 2√5 × √6 =
= [(√6 +√5 -2√6 × √5 × (√6 -√5)] / (√6 -√5) =
= (√6 +√5 -12√5 +10√6) / (√6 -√5) =
= (11√6 -11√5) / (√6 -√5) =
= 11(√6 -√5) / (√6 -√5) = 11

Число 11 - рациональное, следовательно исходное выражение
иррациональным числом не является

Answer 2

Для определения, является ли данное число иррациональным, давайте рассмотрим выражение:

\[ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5} - 2\sqrt{30}} \]

Чтобы облегчить вычисления, умножим числитель и знаменатель на сопряженные значения (комплексно-сопряженные):

\[ \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} - \sqrt{5} - 2\sqrt{30})(\sqrt{6} + \sqrt{5})} \]

Это приведет нас к следующему:

\[ \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{30})^2} \]

Раскроем квадраты:

\[ \frac{6 + 2\sqrt{30} + 5}{6 - 5 - 120} \]

Сократим числители и знаменатели:

\[ \frac{11 + 2\sqrt{30}}{-119} \]

Теперь у нас есть рациональная дробь с корнем. Ответ: данное число является рациональным.