Question

Помогите решить x^2-5x+6/|x-4|>0

Answer 1

|x - 4| > 0 при всех x, кроме тех, которые удовлетворяют уравнению
x - 4 = 0
x = 4
Знаменатель не равен нулю, поэтому x ≠ 4. 
Т.к. модуль не влияет на знак неравенства, то его можно убрать
x² - 5x + 6 > 0
x² - 3x - 2x + 6 > 0
x(x - 3) - 2(x - 3) > 0
(x - 2)(x - 3) > 0
||||||||||||||||||||||||||                             |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
------------------(2)----------------------(3)---------------------(4)----------->  x

Ответ: x ∈ (-∞; 2) U (3; 4) U (4; +∞). 

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(\frac{x^2 - 5x + 6}{|x - 4|} > 0\), нужно рассмотреть три интервала:

1. Интервалы между корнями уравнения в числителе (\(x^2 - 5x + 6 = 0\)). 2. Интервалы, обусловленные знаком выражения в числителе вне корней. 3. Интервалы, обусловленные знаком выражения в знаменателе (\(|x - 4|\)).

Давайте решим пошагово.

1. Находим корни уравнения в числителе:

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Факторизуем:

\[(x - 2)(x - 3) = 0\]

Корни: \(x = 2\) и \(x = 3\).

2. Рассматриваем интервалы вне корней:

Выберем точку в каждом интервале и определим знак выражения в числителе:

- Интервал \((- \infty, 2)\): Пусть \(x = 0\), тогда \(\frac{(0)^2 - 5(0) + 6}{|0 - 4|} = \frac{6}{4} > 0\).

- Интервал \((2, 3)\): Пусть \(x = 2.5\), тогда \(\frac{(2.5)^2 - 5(2.5) + 6}{|2.5 - 4|} = \frac{-0.25}{1.5} < 0\).

- Интервал \((3, 4)\): Пусть \(x = 3.5\), тогда \(\frac{(3.5)^2 - 5(3.5) + 6}{|3.5 - 4|} = \frac{2.25}{0.5} > 0\).

- Интервал \((4, +\infty)\): Пусть \(x = 5\), тогда \(\frac{(5)^2 - 5(5) + 6}{|5 - 4|} = \frac{6}{1} > 0\).

3. Рассматриваем интервалы в зависимости от знака знаменателя:

Так как \(|x - 4|\) всегда положительно, знак неравенства будет определяться знаком числителя. Таким образом, интересными интервалами будут те, где числитель отрицателен.

Итак, мы получаем, что решение неравенства \(\frac{x^2 - 5x + 6}{|x - 4|} > 0\) — это объединение интервалов:

\[x \in (-\infty, 2) \cup (3, 4) \cup (4, +\infty)\]

Таким образом, неравенство выполняется при любых значениях \(x\), кроме интервала \((2, 3)\).