Question

Одна сторона прямоугольника на 7 см короче другой а его диагональ равна 13 см

Answer 1

B                       C

A                       D
Обозначим AB = x, тогда BC = x + 7. По условию AC = 13см. Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора:
AB² + BC² = AC²
x² + (x + 7)² = 13²
x² + x² + 14x + 49 = 169
2x² + 14x - 120 = 0
x² + 7x - 60 = 0
D = 7² - 4 * (-60) = 49 + 240 = 289
X1,2 = (-7 + - √289) / 2 = (- 7 + - 17) /2
X1 = (- 7 + 17)/2 = 5 см - длина AB
X2 = (- 7 - 17)/2 = - 12 не подходит
5 + 7 = 12 см - длина BC

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) - более короткая сторона. Условие гласит, что одна сторона прямоугольника на 7 см короче другой, то есть \(b = a + 7\).

Также, нам дано, что диагональ прямоугольника равна 13 см. Диагональ прямоугольника связана с его сторонами через теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - длина диагонали.

Подставим выражение для \(b\) из условия задачи в формулу Пифагора:

\[c^2 = a^2 + (a + 7)^2\]

Раскроем скобки:

\[c^2 = a^2 + a^2 + 14a + 49\]

Объединим подобные члены:

\[c^2 = 2a^2 + 14a + 49\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. У нас также есть информация, что \(c = 13\), поэтому мы можем подставить это значение:

\[13^2 = 2a^2 + 14a + 49\]

\[169 = 2a^2 + 14a + 49\]

Приведем уравнение к канонической форме:

\[2a^2 + 14a + 49 - 169 = 0\]

\[2a^2 + 14a - 120 = 0\]

Теперь мы можем разделить все коэффициенты на 2 для упрощения:

\[a^2 + 7a - 60 = 0\]

Теперь факторизуем это уравнение:

\[(a - 5)(a + 12) = 0\]

Это уравнение имеет два корня: \(a = 5\) и \(a = -12\). Отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте, поэтому отбрасываем его.

Таким образом, короткая сторона прямоугольника равна 5 см, а длинная сторона (\(b\)) равна \(a + 7 = 12\) см. Проверим, что условие задачи выполнено: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). Условие верно.