Question

Cosx-cos3x+cos7x-cos9x=0

Answer 1

$cosx-cos3x+cos7x-cos9x=0 \\ -(cos9x-cosx)+cos7x-cos3x=0 \\ 2sin5x\cdot sin4x-2sin5x\cdot sin2x=0 \\ sin5x(sin4x-sin2x)=0 \\ \\ 1) \\ sin5x=0 \\ 5x= \pi k;k \in Z \\ x= \dfrac{ \pi k}{5}; k \in Z \\ \\ 2) \\ sin4x-sin2x=0 \\ 2cos3x\cdot sinx=0 \\ \\ cos3x=0 \\ 3x= \dfrac{ \pi }{2}+ \pi k;k \in Z \\ x= \dfrac{ \pi }{6}+ \dfrac{ \pi k}{3}; k \in Z \\ \\ sinx=0 \\ x= \pi k ; k\in Z$

Answer 2

Данное уравнение, Cos(x) - Cos(3x) + Cos(7x) - Cos(9x) = 0, является тригонометрическим уравнением, которое требуется решить. Давайте разберемся, как можно найти его решение.

Использование формулы разности косинусов

Одним из способов решения этого уравнения является применение формулы разности косинусов. Формула разности косинусов гласит:

Cos(A) - Cos(B) = -2 * Sin((A + B) / 2) * Sin((A - B) / 2)

Мы можем использовать эту формулу для упрощения данного уравнения.

Применение формулы разности косинусов

Применим формулу разности косинусов к каждой паре слагаемых в данном уравнении:

Cos(x) - Cos(3x) + Cos(7x) - Cos(9x) = 0

-2 * Sin((x + 3x) / 2) * Sin((x - 3x) / 2) + 2 * Sin((7x + 9x) / 2) * Sin((7x - 9x) / 2) = 0

-2 * Sin(2x) * Sin(-x) + 2 * Sin(8x) * Sin(-x) = 0

Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение, вынесем общий множитель Sin(-x):

-2 * Sin(-x) * (Sin(2x) - Sin(8x)) = 0

Известно, что Sin(-x) = -Sin(x), поэтому мы можем заменить Sin(-x) на -Sin(x):

2 * Sin(x) * (Sin(2x) - Sin(8x)) = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решать отдельно для каждого множителя в скобках.

Решение уравнения

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. Sin(x) = 0

Уравнение Sin(x) = 0 имеет бесконечное количество решений. Одно из них - x = 0. Другие решения можно получить, когда Sin(x) равен 0 при различных значениях x. Например, x = pi, 2pi, 3pi, и так далее.

2. Sin(2x) - Sin(8x) = 0

Для решения этого уравнения нам понадобится применить формулу суммы синусов:

Sin(A) - Sin(B) = 2 * Cos((A + B) / 2) * Sin((A - B) / 2)

Применим эту формулу к уравнению Sin(2x) - Sin(8x) = 0:

2 * Cos((2x + 8x) / 2) * Sin((2x - 8x) / 2) = 0

2 * Cos(5x) * Sin(-3x) = 0

Поскольку Sin(-3x) = -Sin(3x), мы можем заменить Sin(-3x) на -Sin(3x):

-2 * Cos(5x) * Sin(3x) = 0

Теперь у нас есть два уравнения, которые можно решать отдельно:

a) Cos(5x) = 0

Это уравнение имеет бесконечное количество решений. Одно из них - x = pi/10. Другие решения можно получить, когда Cos(5x) равен 0 при различных значениях x. Например, x = 3pi/10, 5pi/10, и так далее.

b) Sin(3x) = 0

Это уравнение также имеет бесконечное количество решений. Одно из них - x = 0. Другие решения можно получить, когда Sin(3x) равен 0 при различных значениях x. Например, x = pi/3, 2pi/3, и так далее.

Общее решение уравнения

Объединяя все решения, полученные выше, мы можем записать общее решение уравнения Cos(x) - Cos(3x) + Cos(7x) - Cos(9x) = 0:

x = 0, pi, 2pi, 3pi, ... (Sin(x) = 0)

x = pi/10, 3pi/10, 5pi/10, ... (Cos(5x) = 0)

x = 0, pi/3, 2pi/3, ... (Sin(3x) = 0)

Это наборы значений x, при которых данное уравнение будет выполняться.