Question

Решите уравнение 2cos(pi/2-x)=tgx Найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [ -2pi;-pi/2] Помогите пожалуйста

Answer 1

2sinx- sinx/cosx=0
(2sinxcosx-sinx)/cosx=0
2sinxcosx-sinx=0      cosx≠0
sinx(2cosx-1)=0
sinx=0⇒x=πn
cosx=1/2⇒x=+-π/3+2πn

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение и найдем корни на заданном интервале.

Уравнение: \(2\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)\).

Для начала, давайте преобразим уравнение, используя тригонометрические тождества. Используем тождество \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\[2\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.\]

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на \(\cos(x)\):

\[2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x).\]

Теперь заменим \(\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) на \(\sin^2(x)\) (используя тождество \(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\)):

\[2(1 - \sin^2(x)) = \sin(x).\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[2 - 2\sin^2(x) = \sin(x).\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[2\sin^2(x) + \sin(x) - 2 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[a = 2, \quad b = 1, \quad c = -2.\]

Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = 1^2 - 4(2)(-2) = 1 + 16 = 17.\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

\[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}.\]

Таким образом, корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4},\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}.\]

Теперь остается проверить, какие из этих корней принадлежат интервалу \([-2\pi, -\frac{\pi}{2}]\).

Оба корня отрицательны, так что оба подходят для нашего интервала.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие интервалу \([-2\pi, -\frac{\pi}{2}]\), это:

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4},\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}.\]