Question

уравнения с модулями 1) |x^2-5x|=4|x| 2) x^2-6|x|+5=0 3) |x^2-5x|=6 4) |x^2-4|+|x^2-9|=12

Answer 1

1) Безболезненно возводим все в квадрат, получим (x^2-5x)^2=(4x)^2

(x^2-5x-4x)(x^2-5x+4x)=0

x=0, 1, 9

2) Уравнение квадратное относительно |x|=t: t^2-6t+5=0, t=5 or 1; x=+-1,+-5

3) Можно опять возвести в квадрат или записать совокупность. Так или иначе, x^2-5x+-6=0. x=2,3,6,-1

4) Тут можно и геометрическим смыслом модуля попользоваться. Сумма расстояний от x^2 до точек 4 и 9 равно 12. Отсюда либо точка x^2 правее 9 (тогда x^2=12,5), либо точка левее 4 (тогда x^2=0.5). x=+-sqrt(2)/2, +-5sqrt(2)/2

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнения с модулями по очереди:

1) \( |x^2 - 5x| = 4|x| + 2 \)

Рассмотрим два случая:

a) \( x^2 - 5x = 4x + 2 \)

Решим это уравнение:

\( x^2 - 9x - 2 = 0 \)

Применяем квадратное уравнение:

\( x = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 + 4 \cdot 2}}{2} \)

\( x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 8}}{2} \)

\( x = \frac{9 \pm \sqrt{89}}{2} \)

Поэтому первый набор корней: \( x = \frac{9 + \sqrt{89}}{2} \), второй набор корней: \( x = \frac{9 - \sqrt{89}}{2} \).

b) \( x^2 - 5x = -4x - 2 \)

Решим это уравнение:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Применяем квадратное уравнение:

\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \)

\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \)

Поэтому третий набор корней: \( x = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \), четвёртый набор корней: \( x = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \).

Таким образом, уравнение \( |x^2 - 5x| = 4|x| + 2 \) имеет четыре решения: \( x = \frac{9 + \sqrt{89}}{2} \), \( x = \frac{9 - \sqrt{89}}{2} \), \( x = 1 \), и \( x = -2 \).

2) \( x^2 - 6|x| + 5 = 0 \)

Рассмотрим два случая:

a) \( x^2 - 6x + 5 = 0 \)

Решим это уравнение:

\( (x - 5)(x - 1) = 0 \)

Отсюда получаем два набора корней: \( x = 5 \) и \( x = 1 \).

b) \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

Решим это уравнение:

\( (x + 5)(x + 1) = 0 \)

Отсюда получаем два набора корней: \( x = -5 \) и \( x = -1 \).

Таким образом, уравнение \( x^2 - 6|x| + 5 = 0 \) имеет четыре решения: \( x = 5 \), \( x = 1 \), \( x = -5 \), и \( x = -1 \).

3) \( |x^2 - 5x| = 6 \)

Рассмотрим два случая:

a) \( x^2 - 5x = 6 \)

Решим это уравнение:

\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)

Применяем квадратное уравнение:

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 + 4 \cdot 6}}{2} \)

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} \)

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} \)

Поэтому первый набор корней: \( x = \frac{5 + 7}{2} = 6 \), второй набор корней: \( x = \frac{5 - 7}{2} = -1 \).

b) \( x^2 - 5x = -6 \)

Решим это уравнение:

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Применяем квадратное уравнение:

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 6}}{2} \)

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \)

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \)

Поэтому третий набор корней: \( x = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), четвёртый набор корней: \( x = \frac{5 - 1}{2} = 2 \).

Таким образом, уравнение \( |x^2 - 5x| = 6 \) имеет четыре решения: \( x = 6 \), \( x = -1 \), \( x = 3 \), и \( x = 2 \).

4) \( |x^2 - 4| + |x^2 - 9| = 12 \)

Рассмотрим четыре случая:

a) \( x^2 - 4 + x^2 - 9 = 12 \)

Упростим:

\( 2x^2 - 13 = 12 \)

\( 2x^2 = 25 \)

\( x^2 = \frac{25}{2} \)

\( x = \pm \frac{\sqrt{50}}{2} \)

\( x = \pm 5 \)

Первый набор корней: \( x = 5 \), второй набор корней: \( x = -5 \).

b) \( -(x^2 - 4) + x^2 - 9 = 12 \)

Упростим:

\( -x^2 + 4 + x^2 - 9 = 12 \)

\( -5 = 12 \) - нет решений в этом случае.

c) \( x^2 - 4 + -(x^2 - 9) = 12 \)

Упростим:

\( x^2 - 4 - x^2 + 9 = 12 \)

\( 5