Question

Упростите выражение: Sin^2 alpha + cos^2 alpha + ctg^2 alpha

Answer 1

Sin^2 alpha + cos^2 alpha + ctg^2 alpha=1+ctg^2 alpha=1/(Sin^2 alpha)

Answer 2

Для упрощения выражения \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) \), воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), известное как тождество Пифагора. 2. Также, \(\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\), поэтому \(\cot^2(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \begin{align*} & \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) \\ = & \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \\ = & \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \\ = & \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \frac{\cos^2(\alpha) \sin^2(\alpha)}{\sin^4(\alpha)} \\ = & \sin^2(\alpha) \left(1 + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right) + \cos^2(\alpha) \\ = & \sin^2(\alpha) \cdot \frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} + \cos^2(\alpha) \\ = & \sin^2(\alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2(\alpha)} + \cos^2(\alpha) \\ = & 1 + \cos^2(\alpha) \end{align*} \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \(1 + \cos^2(\alpha)\).