Question

Как вычислить производную

Answer 1

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Answer 2

Конечно, производная функции показывает, как быстро меняется функция в данной точке. Существует несколько способов вычисления производной функции. Один из наиболее распространенных способов - использовать правила дифференцирования.

1. Дифференцирование степеней: Если у вас есть функция вида \(f(x) = x^n\), где \(n\) - это любое число, вы можете применить правило дифференцирования степеней: \(f'(x) = nx^{n-1}\). Например, для функции \(f(x) = x^3\) производная будет \(f'(x) = 3x^2\).

2. Дифференцирование суммы и разности: Правило для дифференцирования суммы гласит, что производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных. То есть, если \(f(x) = g(x) + h(x)\), то \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\).

3. Производная произведения функций (правило произведения): Если у вас есть функция \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\), то её производная выражается как \(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\).

4. Производная частного функций (правило частного): Для функции \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) производная будет равна \(\frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}\).

Это лишь базовые правила, и есть и другие более сложные правила для функций, которые не могут быть выражены простыми формулами. Также существуют тригонометрические, логарифмические и экспоненциальные функции, для которых существуют свои правила дифференцирования.

Часто для вычисления производных используют таблицы производных или программы, которые автоматически проводят дифференцирование.