Question

Двенадцать спортсменов бегут кросс, каждый со своей постоянной скоростью. Когда финишировал самый быстрый, то претендент на второе место пробежал лишь половину пути. Когда он финишировал, то претендент на третье место пробежал лишь половину пути. И так далее. Когда финишировал одиннадцатый спортсмен, то самый медленный пробежал лишь половину всего пути. Найти отношение скорости самого быстрого к скорости самого медленного спортсмена.

Answer 1

1-ый бежит в 2 раза быстрее 2-го, 2-ой в 2 раза быстрее 3-го, и т.д.
11-ый в 2 раза быстрее 12-го.
1-ый бежит в 4=2^2 раза быстрее 3-го, в 8=2^3 быстрее 4-го, и т.д..
Отношение скоростей 1-го к 12-му равно 2^11:1 = 2048:1

Answer 2

Пусть S1, S2, ..., S12 - скорости спортсменов соответственно.

По условию, когда самый быстрый спортсмен финишировал, претендент на второе место пробежал только половину пути. Это означает, что время, за которое претендент на второе место пробежал половину пути, равно времени, за которое самый быстрый спортсмен пробежал весь путь. Таким образом, имеем:

S2 * (1/2) = S1 * 1

Аналогично, когда претендент на второе место финишировал, претендент на третье место пробежал только половину пути. То есть:

S3 * (1/2) = S2 * 1

И так далее, для всех спортсменов:

S4 * (1/2) = S3 * 1 S5 * (1/2) = S4 * 1 ... S12 * (1/2) = S11 * 1

Заметим, что S1 и S12 связаны таким же соотношением, как и S2 и S1:

S1 * (1/2) = S12 * 1

Теперь можно выразить все скорости через S1. Подставим значения из последних уравнений в предыдущие:

S3 * (1/2) = (S2 * 1) * (1/2) = (S1 * (1/2)) * (1/2) = S1 * (1/2) * (1/2) = S1 * (1/2)^2

S4 * (1/2) = (S3 * 1) * (1/2) = (S1 * (1/2) * (1/2)) * (1/2) = S1 * (1/2)^3

... S11 * (1/2) = (S10 * 1) * (1/2) = (S1 * (1/2)^(10-1)) * (1/2) = S1 * (1/2)^10

S12 * (1/2) = (S11 * 1) * (1/2) = (S1 * (1/2)^10) * (1/2) = S1 * (1/2)^11

Теперь найдем отношение скорости самого быстрого спортсмена к скорости самого медленного:

Отношение = S1 / S12

Подставим значения:

Отношение = S1 / (S1 * (1/2)^11) = 1 / (1/2)^11 = 2^11 = 2048

Таким образом, отношение скорости самого быстрого спортсмена к скорости самого медленного спортсмена равно 2048.