Question

Докажите что функция y=x^2-3/x-1 возрастает на любом промежутке области определения

Answer 1

Знаменатель дроби не должен быть равным 0,  х - 1 ≠ 0
Область определения
D (y) = (-∞; 1) U (1; +∞)

Найдем  производную дроби по формуле  (u/v)`= (u`v-uv`)/v²

y` = ( 2x·(x-1) - (x² - 3)·1) /(x-1)² = (x² - 2x +3)/(x-1)²

y` > 0  при любом х≠1
так как ( х - 1)²>0     и  х² - 2х + 3 >0 любом х ∈(-∞; +∞)  так как дискриминант квадратного трехчлена  D= (-2)²-4·3 <0, ветви параболы направлены вверх а=1 > 0  и парабола ось ох не пересекает,  расположена выше оси ох

Если производная неотрицательна на интервале , то функция возрастает на этом  интервале

Answer 2

Чтобы доказать, что функция y = (x^2 - 3)/(x - 1) возрастает на любом промежутке области определения, мы должны показать, что производная этой функции положительна на всей области определения.

Для начала найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

y' = [(x - 1)*(2x) - (x^2 - 3)*1] / (x - 1)^2

Упростим выражение:

y' = (2x^2 - 2x - x^2 + 3) / (x - 1)^2

y' = (x^2 - 2x + 3) / (x - 1)^2

Теперь нам нужно показать, что выражение (x^2 - 2x + 3) / (x - 1)^2 всегда положительно на всей области определения.

Мы можем заметить, что числитель этого выражения представляет собой параболу с позитивным коэффициентом при старшем члене (a = 1), что означает, что парабола открывается вверх. Кроме того, дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, что означает, что парабола не пересекает ось x и всегда находится выше оси x.

Таким образом, числитель выражения (x^2 - 2x + 3) всегда положителен на всей области определения. Из этого следует, что производная y' также всегда положительна на всей области определения.

Таким образом, мы доказали, что функция y = (x^2 - 3)/(x - 1) возрастает на любом промежутке области определения.