Question

Найдите максимум функции f(x)=2x^3-9x^2+12x+3

Answer 1

Для того чтобы найти максимум ф-ции нужно найти производную
f⁽(x)=6$x^{2}$-18x+12
найдем критические точки, где f⁽(x)=0
6$x^{2}$-18х+12=0
$x^{2}$-3х+2=0
Критические точки х₁=1 или х₂=2
Найдем как меняет знак f⁽(x) на интервалах, на которые разбивает область определения критические точки
    +           -          +
_________________
          1            2
Точкой максимума является точка х=1

Answer 2

Чтобы найти максимум функции \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 3 \), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции \( f'(x) \):

\[ f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \]

2. Решить уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения стационарных точек:

\[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта \( D \):

\[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 12 = 324 - 288 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два корня:

\[ x_1 = \frac{18 + \sqrt{36}}{12} = \frac{18 + 6}{12} = \frac{24}{12} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{18 - \sqrt{36}}{12} = \frac{18 - 6}{12} = \frac{12}{12} = 1 \]

Таким образом, у нас две стационарные точки: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 1 \).

3. Найти значения функции в найденных точках и на концах интервала:

- \( f(0) = 3 \) - \( f(1) = 2 \) - \( f(2) = 13 \)

4. Сравнить значения функции в стационарных точках и на концах интервала:

- Максимум функции будет находиться в одной из стационарных точек или на границах интервала.

Сравним:

- \( f(0) = 3 \) - \( f(1) = 2 \) (минимум) - \( f(2) = 13 \) (максимум)

Таким образом, максимум функции достигается при \( x = 2 \) со значением \( f(2) = 13 \).

Таким образом, максимальное значение функции \( f(x) \) равно 13 и достигается при \( x = 2 \).