Question

Помогите sin2x+2cos(x-п/2)=корень кв из 3cosx+корень кв из 3 [-3п;-3п/2] Должно получиться п/3+2пn;п+2пn -5п/3;-3п

Answer 1

:))))))))))))))))))))))))))))))

Answer 2

Давайте разберёмся с уравнением:

\(\sin{2x} + 2\cos{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)} = \sqrt{3}\cos{x} + \sqrt{3}\)

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус и синус через одну тригонометрическую функцию:

1. Используем формулу для синуса двойного угла: \(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\). 2. Преобразуем \(2\cos{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)}\) с помощью формулы синуса разности: \(2\cos{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)} = 2\sin{x}\). 3. Заменим \(\cos{x}\) на \(\frac{\sin{x}}{\tan{x}}\).

Уравнение примет вид:

\(2\sin{x}\cos{x} + 2\sin{x} = \sqrt{3}\frac{\sin{x}}{\tan{x}} + \sqrt{3}\)

Сократим обе части уравнения на \(2\sin{x}\):

\(\cos{x} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{\tan{x}} + \sqrt{3}\)

Теперь приведём всё к общему знаменателю:

\(\cos{x} + 1 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}\sin{x}}{\sin{x}}\)

Упростим уравнение:

\(\cos{x} + 1 = \frac{\sqrt{3}(1 - \sin{x})}{\sin{x}}\)

Перенесём все члены в одну часть:

\(\cos{x} - \frac{\sqrt{3}(1 - \sin{x})}{\sin{x}} + 1 = 0\)

Теперь продолжим решение уравнения.

Для нахождения корней уравнения воспользуемся тригонометрическими и алгебраическими преобразованиями:

\(\cos{x} - \frac{\sqrt{3}(1 - \sin{x})}{\sin{x}} + 1 = 0\)

Перепишем \(\cos{x}\) через \(\sin{x}\):

\(\frac{\sin^2{x}}{\sin{x}} - \sqrt{3}(1 - \sin{x}) + \sin{x} = 0\)

\(\sin^2{x} - \sqrt{3}\sin{x} + \sqrt{3}\sin^2{x} - \sin{x} = 0\)

\((\sqrt{3}\sin{x} - 1)(\sqrt{3}\sin{x} + 1) = 0\)

Отсюда получаем два уравнения:

1. \(\sqrt{3}\sin{x} - 1 = 0\) => \(\sin{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) => \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число) 2. \(\sqrt{3}\sin{x} + 1 = 0\) => \(\sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) => \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число)

Таким образом, корни уравнения: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь мы можем подставить значения \(x\) в уравнение и проверить, какие из корней удовлетворяют исходному уравнению.