Question

2xy=5 и 2x+y=6 решить систему уравнений. Полное решение, пожалуйста.

Answer 1

2х+у=6
2ху=5
у=6-2х
2х(6-2х)=5
12х-4х²-5=0
D=12²-*-4*-5*-4=144-80=64
X1=-12-8\-4*2=-20\-8=2,5
X2=-12+8\-4*2=-4\-8=0,5

y1=6-2*2,5=1
y2=6-2*0,5=5
проверка:
2*2,5+1=6
   6=6
2*0,5*5=5
5=5

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2xy = 5 \quad \text{(1)} \\ 2x + y = 6 \quad \text{(2)} \end{cases} \]

Для начала давайте избавимся от переменной \( y \) во втором уравнении, чтобы выразить её через \( x \):

\[ 2x + y = 6 \] \[ y = 6 - 2x \quad \text{(3)} \]

Теперь мы можем подставить выражение для \( y \) из уравнения (3) в уравнение (1):

\[ 2xy = 5 \] \[ 2x(6 - 2x) = 5 \] \[ 12x - 4x^2 = 5 \] \[ 4x^2 - 12x + 5 = 0 \]

Это уравнение является квадратным уравнением относительно переменной \( x \). Мы можем решить его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 4 \), \( b = -12 \), и \( c = 5 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \]

Таким образом, дискриминант положителен (\( D > 0 \)), что означает у нас есть два корня:

\[ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} \] \[ x = \frac{12 \pm 8}{8} \]

Таким образом, получаем два значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \] \[ x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \( y \), мы подставим найденные значения \( x \) в уравнение (3):

Для \( x = \frac{5}{2} \):

\[ y = 6 - 2x = 6 - 2 \times \frac{5}{2} = 6 - 5 = 1 \] Таким образом, при \( x = \frac{5}{2} \), \( y = 1 \).

Для \( x = \frac{1}{2} \):

\[ y = 6 - 2x = 6 - 2 \times \frac{1}{2} = 6 - 1 = 5 \] Таким образом, при \( x = \frac{1}{2} \), \( y = 5 \).

Итак, решение системы уравнений:

\[ (x, y) = \left(\frac{5}{2}, 1\right), \left(\frac{1}{2}, 5\right) \]