Question

Найти производную функции y=2cos(5x-1)arcctgx

Answer 1

Решение во вложениях.

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции y = 2cos(5x-1)arcctgx, мы можем использовать правила дифференцирования для композиции функций.

Итак, давайте разобьем эту функцию на две части: f(x) = 2cos(5x-1) и g(x) = arcctgx. Затем мы найдем производные каждой из этих функций по отдельности и применим правила дифференцирования.

Нахождение производной для f(x)

Для начала, найдем производную функции f(x) = 2cos(5x-1). Для этого мы можем использовать цепное правило дифференцирования, которое гласит, что производная композиции двух функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Производная cos(x) равна -sin(x), поэтому производная функции f(x) будет:

f'(x) = -2sin(5x-1) * (5)

Упростим это выражение:

f'(x) = -10sin(5x-1)

Нахождение производной для g(x)

Теперь найдем производную функции g(x) = arcctgx. Для этого мы можем использовать правило дифференцирования для обратной тригонометрической функции.

Правило дифференцирования для arcctg(x) состоит в том, что производная arcctg(x) равна -1 / (1 + x^2).

Таким образом, производная функции g(x) будет:

g'(x) = -1 / (1 + (ctgx)^2)

Нахождение производной для y

Теперь, когда у нас есть производные для обеих частей функции, мы можем найти производную для y = 2cos(5x-1)arcctgx, используя правило произведения.

Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй функции, плюс произведение второй функции на производную первой функции.

Таким образом, производная функции y будет:

y' = (2cos(5x-1)) * (-1 / (1 + (ctgx)^2)) + (-10sin(5x-1)) * arcctgx

Упростим это выражение и приведем его к более компактному виду, если это возможно.

Итак, производная функции y = 2cos(5x-1)arcctgx равна:

y' = -2cos(5x-1) / (1 + (ctgx)^2) - 10sin(5x-1) * arcctgx