Question

Реш. нер-во log₀‚₃ (x^2-5x-7)>0 Решить урав log₅ (2x+3)= log₅(2x-1)-1

Answer 1

Log_0.3(x^2 - 5x -7) >0
ОДЗ    x^2 - 5x - 7 > 0
           x^2 - 5x - 7 = 0
           D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*1*(-7) = 25 + 28 = 53 > 0
           x_1 = (-b + VD)/2a = (5 + V53)/2
           x_2 = (-b  - VD)/2a = (5  -  V53)/2
ОДЗ    (-бесконечности;   (5 - V53)/2)    объединение    ( (5 + V53)/2;  +бесконечности)
log_0.3(x^2 - 5x - 7) > log_0.3 1
Так как основание логарифм 0,3 < 1, то  большему значению логарифма 
соответствует меньшее значение числа.
x^2 - 5x - 7  <  1
x^2 - 5x - 7 - 1 < 0
x^2 - 5x - 8 < 0
x^2 - 5x - 8 = 0
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*1*(-8) = 25 + 32 = 57
x_1 = (-b + VD)/2a = (5 + V57)/2
x_2 = (-b - VD)/2a = (5 - V57)/2
Методом  интервалов.
----------------------|---------------------------|------------------------------------------------------------
   +         (5 - V57)/2      -        (5 + V57)/2          +          x^2 - 5x - 8 < 0
И  учитывая    ОДЗ
x^2 - 5x - 8 < 0  при    (5 - V57)/2  <  x  <   (5 + V57)/2
Ответ.           ( (5 - V57)/2;   (5 + V57)/2 ) 
Решить  уравнение.
log_5(2x + 3) = log_5(2x -1) - 1   
log_5 (2x + 3) - log_5(2x  1) = log_5(1/5)
log_5( (2x + 3) / (2x - 1) ) = log_5(1/5)
(2x + 3) / (2x - 1) = 1/5
5(2x -3) = 2x -1
10x -2x = -1 +15
8x = 14
x = 14/8
x = 1.75
Ответ.     1,75

Answer 2

Для решения неравенства log₀‚₃(x^2-5x-7) > 0, мы должны сначала определить, в каких интервалах переменная x делает выражение (x^2-5x-7) положительным.

Чтобы определить значения x, удовлетворяющие данной неравенству, мы можем использовать свойства логарифмов и переписать неравенство в эквивалентной форме:

(x^2-5x-7) > 3^0

Так как 3^0 = 1, то неравенство примет следующий вид:

(x^2-5x-7) > 1

Для решения этого квадратного неравенства, нам нужно найти интервалы, в которых выражение (x^2-5x-7) больше 1.

Шаг 1: Нахождение корней квадратного уравнения

Для начала найдем корни квадратного уравнения (x^2-5x-7) = 1. Чтобы это сделать, мы вычисляем дискриминант:

D = b^2 - 4ac

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения (в данном случае a = 1, b = -5 и c = -8):

D = (-5)^2 - 4(1)(-8) = 25 + 32 = 57

Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-(-5) + √57) / (2(1)) = (5 + √57) / 2

x₂ = (-(-5) - √57) / (2(1)) = (5 - √57) / 2

Мы нашли два корня уравнения: x₁ = (5 + √57) / 2 и x₂ = (5 - √57) / 2.

Шаг 2: Построение интервалов

Теперь, используя найденные корни, мы можем построить интервалы, в которых выражение (x^2-5x-7) больше 1.

Мы знаем, что значение функции (x^2-5x-7) будет положительным, когда x находится за пределами этих двух корней. Значит, мы можем построить следующие интервалы:

1. x < (5 - √57) / 2 2. (5 + √57) / 2 < x

Таким образом, решением исходного неравенства log₀‚₃(x^2-5x-7) > 0 является:

x < (5 - √57) / 2 или (5 + √57) / 2 < x

Теперь перейдем к решению уравнения log₅(2x+3)=log₅(2x-1)-1.