Question

Докажите тождество: sin^4a-cos^4a= -cos^2a

Answer 1

$sin^4 a-cos^4 a=\\\\(sin a)^4-(cos a)^4=\\\\(sin a)^{2*2}-(cos a)^{2*2}=\\\\(sin^2 a)^2-(cos^2 a)^2=$
используем формулу разности квадратов
$(sin^2 a-cos^2a)(sin^2 a+cos^2 a)=$
используем формулу косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество
$-cos(2a)*1=-cos(2a)$

Answer 2

Доказательство тождества: sin^4a - cos^4a = -cos^2a

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sin^4a и cos^4a через квадраты sin^2a и cos^2a.

Мы знаем, что: sin^2a + cos^2a = 1 (тождество Пифагора для тригонометрических функций)

Теперь возводим обе части этого тождества в квадрат: (sin^2a + cos^2a)^2 = 1

Раскроем скобки: sin^4a + 2sin^2a*cos^2a + cos^4a = 1

Теперь выразим sin^4a и cos^4a: sin^4a = (1 - cos^2a)^2 cos^4a = (1 - sin^2a)^2

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение: (1 - cos^2a)^2 - (1 - sin^2a)^2 = -cos^2a

Раскроем скобки и упростим: 1 - 2cos^2a + cos^4a - (1 - 2sin^2a + sin^4a) = -cos^2a (- 2cos^2a + cos^4a) - (- 2sin^2a + sin^4a) = -cos^2a -2cos^2a + cos^4a + 2sin^2a - sin^4a = -cos^2a

Теперь заменим sin^4a и cos^4a, используя выражения, которые мы получили ранее: -2cos^2a + (1 - sin^2a)^2 + 2sin^2a - (1 - cos^2a)^2 = -cos^2a -2cos^2a + 1 - 2sin^2a + sin^4a + 2sin^2a - 1 + 2cos^2a - cos^4a = -cos^2a - cos^4a + sin^4a = -cos^2a

Таким образом, мы доказали тождество: sin^4a - cos^4a = -cos^2a