Question

При всех допустимых значениях альфа докажите тождество cos альфа - cos 5альфа делить sin5альфа +sin альфа и равняется tg2альфа

Answer 1

Числитель = Cos a - Cos 5a = - 2Sin3a Sin2a
Знаменатель =  Sin 5a + Sin a= 2Sin3a Cos 2a
Теперь видно, что дробь сокращается на 2Sin 3a
Ответ: - 2 tg 2a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулами тригонометрии.

Известно, что: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) (формула косинуса разности) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) (формула синуса разности)

Подставим a = 5α и b = α в эти формулы: cos(5α - α) = cos(5α)cos(α) + sin(5α)sin(α) sin(5α - α) = sin(5α)cos(α) - cos(5α)sin(α)

Упростим полученные выражения: cos(4α) = cos(5α)cos(α) + sin(5α)sin(α) sin(4α) = sin(5α)cos(α) - cos(5α)sin(α)

Теперь воспользуемся формулой тангенса двойного угла: tg(2α) = (2sin(α)cos(α))/(cos^2(α) - sin^2(α))

Подставим в эту формулу sin(4α) и cos(4α): tg(2α) = (2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α))/((cos(5α)cos(α) + sin(5α)sin(α))^2 - (sin(5α)cos(α) - cos(5α)sin(α))^2) tg(2α) = (2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α))/((cos(5α)cos(α))^2 + (sin(5α)sin(α))^2 - (sin(5α)cos(α))^2 + (cos(5α)sin(α))^2) tg(2α) = (2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α))/(cos^2(5α)cos^2(α) + sin^2(5α)sin^2(α) - sin^2(5α)cos^2(α) + cos^2(5α)sin^2(α)) tg(2α) = (2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α))/(sin^2(5α) + cos^2(5α)) tg(2α) = (2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α))/1 tg(2α) = 2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α)

Таким образом, мы получили, что tg(2α) = 2sin(5α)cos(α) - 2cos(5α)sin(α).

Отсюда следует, что tg(2α) = tg(2α).

Таким образом, тождество cos(α) - cos(5α)/sin(5α)sin(α) = tg(2α) верно для всех допустимых значений α.