Question

Вычислите средний член разложения бинома Ньютона: (3а + в)6

Answer 1

Коэффициенты в разложении бинома степень 6(скажем по треуг. Паскаля) будут 
1     6     15    20     15     6    1

у среднего члена 20    он равен 20(3а)³(b)³=20*27а³b³=540а³b³

Answer 2

Для вычисления среднего члена разложения бинома Ньютона вида $(3a + b)^6$, где $a$ и $b$ являются переменными, мы можем использовать формулу для нахождения общего члена разложения бинома Ньютона:

$$C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k$$

где $C(n, k)$ - число сочетаний, $n$ - степень бинома, а $k$ - номер члена в разложении.

В нашем случае, степень бинома равна 6, а переменные $a$ и $b$ равны $3a$ и $b$ соответственно. Мы хотим найти средний член, поэтому номер члена будет равен $k = \frac{n}{2}$.

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$C(6, 3) \cdot (3a)^{6-3} \cdot b^3$$

Вычисление числа сочетаний

Число сочетаний $C(n, k)$ можно вычислить с помощью формулы:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

где $n!$ - факториал числа $n$.

В нашем случае, мы хотим вычислить $C(6, 3)$:

$$C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!}$$

$$C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot 3!}$$

$$C(6, 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$

$$C(6, 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$

$$C(6, 3) = 20$$

Вычисление среднего члена

Теперь, когда мы знаем значение числа сочетаний, мы можем вычислить средний член разложения:

$$20 \cdot (3a)^{6-3} \cdot b^3$$

$$20 \cdot (3a)^3 \cdot b^3$$

$$20 \cdot 27a^3 \cdot b^3$$

$$540a^3b^3$$

Таким образом, средний член разложения бинома Ньютона $(3a + b)^6$ равен $540a^3b^3$.