Question

При каких значениях b и c прямые y=4x и y=−9x являются касательными к графику функции f(x)=x2+bx+c ? Ответ: b= c=

Answer 1

Пусть х1 это точка касания прямой y=4x и параболы y= x^2 + bx + c, тогда
4*(x1) = (x1^2) + b*x1 + c;
4 = 2*x1 + b;
Пусть x2 это точка касания прямой y=-9x и параболы y = x^2 + bx + c, тогда
-9*x2 = (x2^2) + b*x2 + c;
-9 = 2*(x2) + b;
У нас четыре уравнения на четыре переменные x1; x2; b; c. Решая систему из этих четырех уравнений найдем, что c = -2,5; b = 10,5625.

Answer 2

Для того чтобы прямые y=4x и y=-9x были касательными к графику функции f(x)=x^2+bx+c, необходимо, чтобы уравнение этой функции имело общую точку с каждой из прямых и при этом производная функции в этой точке была равна наклону соответствующей прямой.

Первая прямая y=4x имеет наклон 4, а вторая прямая y=-9x имеет наклон -9.

Таким образом, производная функции f(x) в точке общего пересечения с первой прямой должна быть равна 4, а в точке общего пересечения со второй прямой -9.

Выразим производную функции f(x) и приравняем ее к 4 и -9:

f'(x) = 2x + b = 4 2x + b - 4 = 0

f'(x) = 2x + b = -9 2x + b + 9 = 0

Решим эти уравнения относительно переменных x и b:

2x + b - 4 = 0 2x = 4 - b x = (4 - b) / 2

2x + b + 9 = 0 2x = -9 - b x = (-9 - b) / 2

Поскольку общая точка пересечения прямых с графиком функции f(x) должна быть одна, то значения x должны совпадать:

(4 - b) / 2 = (-9 - b) / 2 4 - b = -9 - b 4 = -9

Так как это уравнение не имеет решений, то прямые y=4x и y=-9x не являются касательными к графику функции f(x)=x^2+bx+c при любых значениях b и c.