Question

1.Найти экстремумы функции. у=x^3-3x^2-9x+7 2.Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции y=x^3-3x^2

Answer 1

У=x^3-3x^2-9x+7   y'=3x²-6x-9=0    x²-2x-3   x1=3   x2=-1

y=x^3-3x^2  y'=3x²-6x    y''=6x-6
x<1  y''<0  выпукла
x>1  y''>0   вогнута

Answer 2

1. Для нахождения экстремумов функции у=x^3-3x^2-9x+7 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю:

у' = 3x^2 - 6x - 9

Приравниваем производную к нулю:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Факторизуем это уравнение:

3(x^2 - 2x - 3) = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: x = 3 и x = -1.

Далее, находим значения функции в найденных точках:

у(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 = 1

у(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = 20

Таким образом, функция имеет два экстремума: минимум в точке (3, 1) и максимум в точке (-1, 20).

2. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости функции y=x^3-3x^2 сначала найдем вторую производную:

y'' = 6x - 6

Затем приравняем вторую производную к нулю и найдем точки перегиба:

6x - 6 = 0

x = 1

Таким образом, функция имеет точку перегиба при x = 1.

Далее, проанализируем знак второй производной на интервалах:

-∞ < x < 1: y'' < 0, функция вогнута 1 < x < +∞: y'' > 0, функция выпукла

Таким образом, функция y=x^3-3x^2 вогнута на интервале (-∞, 1) и выпукла на интервале (1, +∞).