Question

Подскажите, пожалуйста, как доказать это свойство: a^(log числа с по основанию b) = c^(log числа а по основанию b). Знаю, что надо прологарифмировать по основанию a или с, а дальше что. Залипла:)

Answer 1

Надо доказать $a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$
Прологарифмируем по основанию b, пользуясь свойством, что $\log_b(x^y)=y\log_b x$. Получим
${\log_b c}\log_b a={\log_b a}\log_b c,$ что является верным равенством.

Answer 2

Я могу помочь вам с решением этой задачи.

Для доказательства этого свойства вам нужно прологарифмировать обе части равенства по одному и тому же основанию, например, по основанию a. Тогда получится:

log_a(a^(log_bc)) = log_a(c^(log_ba))

Используя свойство логарифма степени, можно перенести показатели степени вперед:

log_bc * log_aa = log_ba * log_ac

Так как log_aa = 1, то упрощаем выражение:

log_bc = log_ba * log_ac

Используя свойство логарифма произведения, можно перенести множители внутрь логарифма:

log_bc = log_b(a * c)

Таким образом, мы доказали, что исходное равенство верно.

Вы можете найти больше информации о логарифмах и их свойствах на этих сайтах: [1](https://online-otvet.ru/algebra/5cea815b96f4e19a29171145), [2](https://quizlet.com/ru/661949593/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%8B-flash-cards/), [3](https://www.meracalculator.com/math/ru/log.php). Надеюсь, это было полезно.

Answer 3

Для доказательства данного свойства воспользуемся свойствами логарифмов и экспонент.

Пусть у нас есть уравнение: a^(log_b(x)) = c^(log_b(a))

Сначала возьмем логарифм от обеих частей уравнения по основанию a: log_a(a^(log_b(x))) = log_a(c^(log_b(a)))

По свойству логарифма log_a(a^k) = k, где k - любое число, получим: log_b(x) = log_a(c^(log_b(a)))

Теперь воспользуемся свойством логарифма log_a(a^k) = k*log_a(a) = k*1 = k: log_b(x) = (log_b(a))*(log_a(c))

Теперь домножим обе части уравнения на log_b(a): log_b(a)*log_b(x) = (log_b(a))*(log_a(c))*log_b(a)

Так как (log_b(a))^2 = log_b(a)*log_b(a), то: (log_b(a))^2 = (log_b(a))*(log_a(c))*log_b(a)

Делим обе части уравнения на (log_b(a)) (предполагаем, что log_b(a) не равно нулю): log_b(a) = log_a(c)

Теперь возведем обе части уравнения в степень b: b^(log_b(a)) = b^(log_a(c))

Так как b^(log_b(a)) = a, то: a = b^(log_a(c))

Таким образом, мы получили, что a = b^(log_a(c)), что и требовалось доказать.