Question

Решить уравнение:x^6-25x^4-4x^2+100=0

Answer 1

x^6-25x^4-4x^2+100=0

x^4(x^2-25)-4(x^2-25)=0

(x^4-4)(x^2-25)=0

x= +- тройной корень из 2

x= +-5

Answer 2

Для решения уравнения x^6 - 25x^4 - 4x^2 + 100 = 0, мы можем использовать метод подстановки или метод факторизации. Однако, в данном случае, уравнение не может быть факторизовано в простые множители и, следовательно, мы будем использовать численные методы для его решения.

Численное решение уравнения

Один из численных методов, которые мы можем использовать для решения этого уравнения, - это метод Ньютона. Этот метод позволяет найти приближенное значение корня уравнения путем итеративной процедуры. Для применения метода Ньютона, нам необходимо выбрать начальное приближение для корня. Давайте выберем x = 1 в качестве начального приближения.

Шаги метода Ньютона: 1. Выберите начальное приближение x_0. 2. Найдите касательную линию уравнения в точке (x_0, f(x_0)). 3. Найдите пересечение касательной линии с осью x. 4. Повторяйте шаги 2 и 3, пока не будет достигнута необходимая точность.

Применим метод Ньютона к нашему уравнению:

Шаг 1: Выберем начальное приближение x_0 = 1.

Шаг 2: Вычислим производную f'(x): f'(x) = 6x^5 - 100x^3 - 8x

Шаг 3: Вычислим следующее приближение x_1: x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)

Повторим шаги 2 и 3, пока не достигнем необходимой точности или не получим достаточно приближенное значение корня.

Продолжим итерационный процесс:

Шаг 2: Вычислим f'(x) для x_0 = 1: f'(1) = 6(1)^5 - 100(1)^3 - 8(1) = -102

Шаг 3: Вычислим x_1: x_1 = 1 - f(1) / f'(1) = 1 - (-25 - 4 + 100) / -102 = 0.3529

Продолжим итерации до достижения необходимой точности или получения достаточно приближенного значения корня.

Продолжим итерационный процесс, используя найденные значения:

Шаг 2: Вычислим f'(x) для x_1 = 0.3529: f'(0.3529) = 6(0.3529)^5 - 100(0.3529)^3 - 8(0.3529) = -7.9605

Шаг 3: Вычислим x_2: x_2 = 0.3529 - f(0.3529) / f'(0.3529) = 0.3529 - (-24.9992 - 4(0.3529)^2 + 100) / -7.9605 = 0.3434

Продолжим итерационный процесс до достижения необходимой точности или получения достаточно приближенного значения корня.

Продолжайте повторять шаги 2 и 3 до достижения необходимой точности или получения достаточно приближенного значения корня.

Следуя этим шагам, мы можем найти приближенный корень уравнения x^6 - 25x^4 - 4x^2 + 100 = 0.