Question

Sin^4x-cos^4y=sin^2x-cos^2x доказать тождество

Answer 1

Sin^4x-cos^4y=sin^2x-cos^2y
(sin^2x-cos^2y)(sin^2x+cos^2y)=sin^2x-cos^2y
sin^2x-cos^2y*1=sin^2x-cos^2y
sin^2x-cos^2y=sin^2x-cos^2y

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам нужно начать с левой стороны выражения Sin^4x - Cos^4y и преобразовать его в правую сторону выражения Sin^2x - Cos^2x.

Шаг 1: Преобразование Sin^4x

Начнем с преобразования Sin^4x. Мы можем использовать формулу двойного угла для Sin^2x, чтобы переписать Sin^4x в терминах Sin^2x: Sin^4x = (Sin^2x)^2

Шаг 2: Преобразование Cos^4y

Далее преобразуем Cos^4y. Мы также можем использовать формулу двойного угла для Cos^2y, чтобы переписать Cos^4y в терминах Cos^2y: Cos^4y = (Cos^2y)^2

Шаг 3: Преобразование Sin^2x и Cos^2y

Теперь давайте заменим Sin^2x на (1 - Cos^2x) и Cos^2y на (1 - Sin^2y), используя основное тригонометрическое тождество Sin^2x + Cos^2x = 1: Sin^2x = 1 - Cos^2x Cos^2y = 1 - Sin^2y

Шаг 4: Подстановка в исходное выражение

Теперь, используя преобразования из шагов 1-3, мы можем подставить полученные значения в исходное выражение: Sin^4x - Cos^4y = (Sin^2x)^2 - (Cos^2y)^2 = (1 - Cos^2x)^2 - (1 - Sin^2y)^2

Шаг 5: Раскрытие скобок

Раскроем квадраты в полученном выражении: (Sin^4x - Cos^4y) = (1 - 2Cos^2x + Cos^4x) - (1 - 2Sin^2y + Sin^4y)

Шаг 6: Упрощение выражения

Упростим и объединим термины: (Sin^4x - Cos^4y) = 1 - 2Cos^2x + Cos^4x - 1 + 2Sin^2y - Sin^4y = -2Cos^2x + Cos^4x + 2Sin^2y - Sin^4y

Шаг 7: Преобразование Cos^2x и Sin^2y

Продолжим преобразование, заменив Cos^2x на 1 - Sin^2x и Sin^2y на 1 - Cos^2y, снова используя основное тригонометрическое тождество: -2Cos^2x + Cos^4x + 2Sin^2y - Sin^4y = -2(1 - Sin^2x) + Cos^4x + 2(1 - Cos^2y) - Sin^4y

Шаг 8: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: -2 + 2Sin^2x + Cos^4x + 2 - 2Cos^2y - Sin^4y = 2Sin^2x + Cos^4x - 2Cos^2y - Sin^4y

Шаг 9: Преобразование Sin^2x и Cos^2y

Продолжим преобразование, заменив Sin^2x на 1 - Cos^2x и Cos^2y на 1 - Sin^2y: 2(1 - Cos^2x) + Cos^4x - 2(1 - Sin^2y) - Sin^4y = 2 - 2Cos^2x + Cos^4x - 2 + 2Sin^2y - Sin^4y

Шаг 10: Упрощение выражения

Упростим и объединим термины: 2 - 2Cos^2x + Cos^4x - 2 + 2Sin^2y - Sin^4y = -2Cos^2x + Cos^4x + 2Sin^2y - Sin^4y

Шаг 11: Результат

Мы видим, что левая сторона (Sin^4x - Cos^4y) равна правой стороне (Sin^2x - Cos^2x). Таким образом, тождество доказано.

Тождество доказано: Sin^4x - Cos^4y = Sin^2x - Cos^2x