Question

ромб задан вершинами A(0;3) B(3;1) C(4;-1) D(1;-1). уравнение той диагонали ромба, которая перпендикулярна прямой y=x+2, имеет вид y=kx+b. помогите решить. нужно очень срочно. пожалуйста.

Answer 1

Во-первых, эти точки не являются вершинами ромба (см. рисунок). Проверьте условия.

Во вторых, алгоритм решения задачи:

1. Диагонали ромба пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам. То есть координаты точки О - это координаты середины отрезка AC либо отрезка BD. Координаты точки О: $\left(\frac{x_1+x_2}2;\frac{y_1+y_2}2\right)$, где (x1;y1) и (x2;y2) - координаты концов отрезка (выбирате любой отрезок - AC или BD? результат получится один и тот же). Пусть точка О имеет координаты (x3;y3).

2. Прямая, проходящая через точку О (х3; у3 ) и перпендикулярная прямой у = kx + b представляется уравнением: $y-y_3=-\frac1{k}(x-x_3)$, где k - угловой коэффициент заданной прямой (в Вашем случае k=1). Подставите координаты токи О и приведёте уравнение к виду y=kx+b

Answer 2

Для начала найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y = x + 2.

Перпендикулярная прямая будет иметь противоположный коэффициент наклона и пересекать данную прямую в точке, симметричной относительно начала координат.

Уравнение прямой с противоположным коэффициентом наклона будет иметь вид y = -x + b.

Теперь найдем точку пересечения данной прямой с прямой y = x + 2.

Подставим уравнение прямой y = -x + b в уравнение y = x + 2 и решим полученное уравнение относительно x:

-x + b = x + 2

2x = b + 2

x = (b + 2) / 2

Теперь подставим найденное значение x в уравнение y = x + 2 и получим значение y:

y = (b + 2) / 2 + 2

Таким образом, точка пересечения прямой y = -x + b с прямой y = x + 2 будет иметь координаты ((b + 2) / 2, (b + 6) / 2).

Так как эта точка является серединой диагонали ромба, то она будет также являться серединой отрезка между вершинами C(4, -1) и A(0, 3).

Найдем координаты середины отрезка между вершинами C и A:

xсеред = (4 + 0) / 2 = 2

yсеред = (-1 + 3) / 2 = 1

Таким образом, координаты середины отрезка CA равны (2, 1).

Так как точка пересечения прямой y = -x + b с прямой y = x + 2 является серединой отрезка CA, то ее координаты равны (2, 1).

Теперь подставим эти координаты в уравнение y = kx + b и решим систему уравнений:

1 = 2k + b

b = 1 - 2k

Таким образом, уравнение диагонали ромба, перпендикулярной прямой y = x + 2, будет иметь вид y = kx + (1 - 2k).