Question

доказать, что если a+b+c=0, то (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).

Answer 1

$c=-(a+b)\\ (a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)\\ (a^2+b^2+(-(a+b))^2)^2 =2(a^4+b^4+(-(a+b))^4)\\ 1)(a^2+b^2+(-(a+b))^2)^2=4(b^2+ab+a^2)^2\\ 2)2(a^4+b^4+(-(a+b))^4)=4(b^2+ab+a^2)^2$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и докажем его.

Пусть у нас есть три числа a, b и c такие, что a + b + c = 0. Мы хотим доказать, что (a^2 + b^2 + c^2)^2 = 2(a^4 + b^4 + c^4).

Начнем с выражения (a^2 + b^2 + c^2)^2 и попробуем привести его к виду 2(a^4 + b^4 + c^4).

(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 + 2(a^2)(b^2) + 2(a^2)(c^2) + 2(b^2)(c^2).

Теперь давайте рассмотрим выражение a^4 + b^4 + c^4. Мы можем заметить, что (a^2)(b^2) = (ab)^2, (a^2)(c^2) = (ac)^2 и (b^2)(c^2) = (bc)^2.

Тогда мы можем переписать выражение a^4 + b^4 + c^4 следующим образом:

a^4 + b^4 + c^4 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2) + 2(ab)^2 + 2(ac)^2 + 2(bc)^2.

Теперь мы можем заметить, что выражение (a^2)(b^2) + (a^2)(c^2) + (b^2)(c^2) равно 0, так как a + b + c = 0. Также, (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 = (a^2)(b^2) + (a^2)(c^2) + (b^2)(c^2) + 2(ab)^2 + 2(ac)^2 + 2(bc)^2.

Таким образом, мы можем записать выражение a^4 + b^4 + c^4 в виде:

a^4 + b^4 + c^4 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2) + (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2.

Теперь, если мы сравним это с выражением для (a^2 + b^2 + c^2)^2, то мы видим, что оба выражения равны.

Таким образом, мы доказали, что если a + b + c = 0, то (a^2 + b^2 + c^2)^2 = 2(a^4 + b^4 + c^4).